Stochastik Grenzwertsatz, Chebychev-Ungleichung

Aufrufe: 1018     Aktiv: 25.07.2020 um 16:07

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Die Jeansproduktion verschickt 2500 Jeans. 20% davon werden reklamiert. a) Geben Sie einen analytischen Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit an, dass maximal 450 Jeans zurückgeschickt werden.

b) Wenden Sie den zentralen Grenzwertsatz zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit auf a) an.

c) Wenden Sie die Chebychev-Ungleichung auf a) an.

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Also die Zufallsvariablen \((X_k)_{k=1,...,2500}\) sollen jetzt mal die Jeans beschreiben also \(X_k=1\) wenn die k-te Jeans reklamiert wird und \(X_k=0\) falls nicht. Nun folgt mit dem zentralen Grenzwertsatz, dass die Zufallsvariable \(\frac{\sum_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt{n}\sigma}\) in etwa standard normalverteilt ist, wobei \(\mu\) der Erwartungswert und \(\sigma\) die Standardabweichung von \(X_k\) ist. Damit gilt also

\(P \left(\sum_{k=1}^{2500}X_k\leq450\right)=P\left(\frac{\sum_{k=1}^{2500}X_k-2500\cdot 0.2}{\sqrt{2500}\cdot\sqrt{ 0.2\cdot 0.8}}\leq\frac{450-2500\cdot 0.2}{\sqrt{2500}\cdot\sqrt{0.2\cdot 0.8}}\right)=\Phi\left(\frac{450-2500\cdot 0.2}{\sqrt{2500}\cdot\sqrt{0.2\cdot0.8}}\right)\).

und das kannst du nun aus der Tabelle für die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung ablesen. Wie man da jetzt Chebychev anwenden kann ist mir allerdings nicht ganz klar.

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Vielen Dank für deine Antwort!   ─   FedericoCaadas 23.07.2020 um 12:35

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