Hallo, 

erstmal ist das nicht für jede Menge definiert, sondern nur für solche, zu denen wir eine Ordnungsrelation haben, i.e. die Elemente der Größe nach anordnen können.

Falls du genauer wissen willst, wie die algebraische Definition von Ordnungsrelation ist, findest du das sicher irgendwo. Aber wenn man dir ohne Kontext einfach eine wilde Menge \(M= \{a, 0, \phi, \frac{4}{5} \} \) gibt, kannst du eben nicht sagen ob sie beschränkt ist oder nicht.

Die gute Nachricht: in allen übichen Räumen \( \mathbb{R}, \mathbb{Z}, \mathbb{R}^{n}\) haben wir durch Normen und Metriken automatisch eine Ordnung! (falls du das alles nicht kennst: es ist wichtig, dass wir definieren wie Dinge zu vergleichen sind und in allen üblichen Räumen können wir das durch Betrag etc. tun)

In diesen Räumen ist eine endliche Menge immer beschränkt. Da oberhalb des größten und unterhalb des kleinsten Wertes keine Elemente mehr liegen.

In Räumen mit Ordnungsrelation heißt "Beschränkt" eigentlich nach oben UND nach unten beschränkt. Wobei eben eins davon heißt, dass es nichts Größeres bzw. nichts Kleineres gibt. Also eine Schranke existiert und die Menge Be-Schrankt ist.

Oft reicht aber in einem bestimmten Zusammenhang eine Richtung, dann kann es schon mal sein, dass lapidar das Wort "beschränkt" benutzt wird, wenn man es nur auf einer Seite weiß und nachgewiesen hat, weil man es nur dort braucht.

Hast du eine Norm, so brauchst du nur eine Schranke für Beschränktheit, wie beim Betrag in den reellen Zahlen. Gibt es eine Zahl, über deren Betrag kein Betrag eines Elements der Menge liegt, so ist die Menge beschränkt, da es weder kleinere mit diesem Betrag noch größere geben kann.

Wichtig ist noch zu sagen, dass die Schranke nicht innerhalb deiner Menge liegen muss, aber in deinem Raum.

Die Menge \( M= \{\frac{1}{n} \vert \forall n \in \mathbb{N} \} \) ist nach unten beschränkt durch 0, aber 0 liegt nicht selbst in der Menge. Die Menge aller natürlichen Zahlen wäre nach oben beschränkt durch unendlich, dies ist aber nicht Element des Raumes, deswegen ist die Menge nicht nach oben beschränkt.

So, das war sicher etwas wirr, was vor allem daran liegt, dass ich nicht weiß von was für Mengen du im Speziellen sprichst, aber vielleicht hast du jetzt eine grobe Vorstellung von Beschränktheit.

Falls ich irgendwo viel zu wirr war frag bitte nach :)

Viele Grüße und gute Nacht

jojoliese