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Hallo!
In deinem Beispiel ist \( f(x)=x^2\) die Funktion und \( f'(x)=2x\) ist die Ableitung.
Wenn du dir das im Koordinatensystem vorstellst, dann siehst du \(f(x) \) als Parabel und \(f'(x)\) als Gerade, die an jeder Stelle \(x\) genau den Wert der Tangentensteigung von \(f(x)\) an genau dieser Stelle annimmt.
Betrachtest du jetzt \(x=5\), dann ist \(f(5)=5^2=25\), also hat die Parabel an dieser Stelle den Funktionswert \(25\). Legst du jetzt an genau dieser Stelle eine Tangente an die Parabel an, dann wird diese die Steigung \(10\) haben. Das sagt dir auch die Ableitung, denn die gibt dir immer die Tangentensteigung, nämlich \(f'(5)=2\cdot5=10\).
Die Ableitung gibt dir Informationen zur sogenannten Änderungsrate der Funktion, also wie schnell die Funktionswerte sinken bzw. steigen.
Nehmen wir wieder das Beispiel der Normalparabel.
Bei den \(x\)-Werten zwischen \(2\) und \(3\) haben wir bei den zugehörigen Funktionswerten einen Sprung von \(f(2)=4\) auf \(f(3)=9\), also eine Zunahme um \(5\). Schauen wir uns in diesem Bereich die Ableitung an, dann liegen deren Werte zwischen \(f'(2)=4\) und \(f'(3)=6\), also gemittelt \(5\).
Bei den \(x\)-Werten zwischen \(10\) und \(11\) haben wir bei den zugehörigen Funktionswerten einen Sprung von \(f(10)=100\) auf \(f(11)=121\), also eine Zunahme um \(21\). Schauen wir uns in diesem Bereich die Ableitung an, dann liegen deren Werte zwischen \(f'(10)=20\) und \(f'(11)=21\), also gemittelt \(21\).
Die Ableitung gibt uns also Auskunft, wie schnell die Werte einer Funktion sich verändern. Das kann beispielsweise in der Physik bei beschleunigten Bewegungen nützlich sein - bei hohen Änderungsraten (Werte der Ableitungsfunktion) der Geschwindigkeitsfunktion wird sehr stark beschleunigt, bei niedrigeren Werten eher langsam beschleunigt, bei negativen Werten wird abgebremst.
Hoffentlich konnte ich dir mit meiner Erklärung weiterhelfen, melde dich gerne bei Rückfragen!
LG Lunendlich :)
In deinem Beispiel ist \( f(x)=x^2\) die Funktion und \( f'(x)=2x\) ist die Ableitung.
Wenn du dir das im Koordinatensystem vorstellst, dann siehst du \(f(x) \) als Parabel und \(f'(x)\) als Gerade, die an jeder Stelle \(x\) genau den Wert der Tangentensteigung von \(f(x)\) an genau dieser Stelle annimmt.
Betrachtest du jetzt \(x=5\), dann ist \(f(5)=5^2=25\), also hat die Parabel an dieser Stelle den Funktionswert \(25\). Legst du jetzt an genau dieser Stelle eine Tangente an die Parabel an, dann wird diese die Steigung \(10\) haben. Das sagt dir auch die Ableitung, denn die gibt dir immer die Tangentensteigung, nämlich \(f'(5)=2\cdot5=10\).
Die Ableitung gibt dir Informationen zur sogenannten Änderungsrate der Funktion, also wie schnell die Funktionswerte sinken bzw. steigen.
Nehmen wir wieder das Beispiel der Normalparabel.
Bei den \(x\)-Werten zwischen \(2\) und \(3\) haben wir bei den zugehörigen Funktionswerten einen Sprung von \(f(2)=4\) auf \(f(3)=9\), also eine Zunahme um \(5\). Schauen wir uns in diesem Bereich die Ableitung an, dann liegen deren Werte zwischen \(f'(2)=4\) und \(f'(3)=6\), also gemittelt \(5\).
Bei den \(x\)-Werten zwischen \(10\) und \(11\) haben wir bei den zugehörigen Funktionswerten einen Sprung von \(f(10)=100\) auf \(f(11)=121\), also eine Zunahme um \(21\). Schauen wir uns in diesem Bereich die Ableitung an, dann liegen deren Werte zwischen \(f'(10)=20\) und \(f'(11)=21\), also gemittelt \(21\).
Die Ableitung gibt uns also Auskunft, wie schnell die Werte einer Funktion sich verändern. Das kann beispielsweise in der Physik bei beschleunigten Bewegungen nützlich sein - bei hohen Änderungsraten (Werte der Ableitungsfunktion) der Geschwindigkeitsfunktion wird sehr stark beschleunigt, bei niedrigeren Werten eher langsam beschleunigt, bei negativen Werten wird abgebremst.
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lunendlich
Student, Punkte: 630
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