Probleme beim Berechnen der Momentangeschwindkeit

Aufrufe: 90     Aktiv: 22.01.2025 um 18:22

0
Hallo zusammen,

nach mehreren Anläufen habe ich eine Frage zur folgenden Aufgabe:

"Ein Körper bewegt sich auf einer Bahn, gegeben durch \(\vec{r}(\phi)=\left(\begin{array}{c}2\\1\end{array}\right)+2\left(\begin{array}{c}cos(\phi)\\sin(\phi)\end{array}\right)\) mit \(0\le\phi\le2\pi\).
Finden Sie eine implizite Darstellung der Kurve und berechnen Sie die Momentangeschwindigkeit \(v_{P}\) im Punkt \(P(r,\phi)=(2,\frac{\pi}{6})\)."



Mit der impliziten Darstellung habe ich soweit keine Probleme. Durch Aufteilen von \(\vec{r}(\phi)\) in seine Komponenten \(x(\phi)=2+2cos(\phi)\) & \(y(\phi)=1+2sin(\phi)\) und anschließendes Umformen in \(cos(\phi)=\frac{x-2}{2}\) & \(sin(\phi)=\frac{y-1}{2}\) kann ich auf die Identität \(cos^2(\phi)+sin^2(\phi)=1\) zurückgreifen und erreiche schließlich \(F(x,y)=(x-2)^2+(y-1)^2=4\).


Bei der Momentangeschwindigkeit komme ich aber nicht weiter.
Die Momentangeschwindigkeit ist ja der Betrag von \(\vec{v}(\phi)\); um mir diesen herzuleiten habe ich zuerst \(\vec{r}(\phi)\) ohne groß nachzudenken nach \(\phi\) differenziert, aber die Geschwindigkeit ist ja die Ableitung des Weges nach der Zeit und nicht des Winkels - also wollte ich mit \(\frac{d\phi}{d\phi}\) erweitern, mein Gedankengang dazu:

\(\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}\)
\(\vec{v}(\phi)=\frac{d\vec{r}}{dt}\cdot\frac{d\phi}{d\phi}=\frac{d\vec{r}}{d\phi}\frac{d\phi}{dt}=2\left(\begin{array}{c}-sin(\phi)\\cos(\phi)\end{array}\right)\cdot\frac{d\phi}{dt}\)

Ich habe leider keine Ahnung, wie ich für diese Aufgabe die Winkelgeschwindigkeit berechnen soll - denn genau diese ist ja \(\omega=\frac{d\phi}{dt}\). Selbst wenn ich annehme, dass sie konstant und somit \(\omega=\frac{2\pi}{T}\) ist, kenne ich immer noch nicht den Wert von \(T\).

Zwecks der Vollständigkeit:
Für \(\phi=\frac{\pi}{6}\) ist dann \(\vec{v}(\frac{\pi}{6})=2\left(\begin{array}{c}-sin(\frac{\pi}{6})\\cos(\frac{\pi}{6})\end{array}\right)\cdot\vec{\omega}=2\vec{\omega}\cdot\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{2}\\\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}\right)=\vec{\omega}\cdot\left(\begin{array}{c}-1\\\sqrt{3}\end{array}\right)\)

Die Momentangeschwindigkeit ist dann \(v_{P}=\sqrt{(-1)^2+\sqrt{3}^2}\cdot|\vec{\omega}|=2\omega\).
Laut der Antwort eines Multiple-Choice-Tests soll die Momentangeschwindigkeit \(2\sqrt{3}\) sein, dies würde ja dann bedeuten, dass \(\omega=\sqrt{3}\) & \(T=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\).

Wie würdet ihr dieses Problem angehen? Habe ich vielleicht einen falschen Ansatz gewählt?

Vielen Dank für eure Zeit!
gefragt

Student, Punkte: 51

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
1
Da Du die Winkelgeschwindigkeit nicht kennst, kannst Du für die Momentangeschwindigkeit im Punkt \(v_P\) keinen Zahlenwert angeben. Irgendeine Angabe fehlt hier. Deine Rechnung ist im Wesentlichen richtig. Auch Dein F ist richtig.

Allerdings ist \(\omega\) ein Skalar, so dass der Vektorpfeil über den \(\omega\) weg muss.
Diese Antwort melden
geantwortet

Punkte: 2.59K

 

Dankeschön. Ist beruhigend zu wissen, dass ich hier nicht etwas übersehen habe (vom omega abgesehen) und das Problem tatsächlich bei der Angabe liegt.   ─   arcturus0815 22.01.2025 um 18:22

Kommentar schreiben