Lineare Algebra Aufgaben

Erste Frage Aufrufe: 69     Aktiv: 18.06.2021 um 13:00

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Hallo ich habe 2 Aufgaben, bei deren Lösung ich eure Hilfe bräuchte

1)

Sei f: V -> W eine bijektive, lineare Abbildung und {v1 ... vn} eine Basis von V. (v sind Vektoren).
Welche der folgenden Aussagen sind dann immer gültig?

1) V ist ein Unterraum von W.
2) {f(v1), ... f(vn)} ist eine Basis von W.
3) dim(V) = dim (W)
4) dim(W) = n
5) {v1, ... vn} ist eine Basis von W.



2) Sei A = 1 0 0
                 2 1 -2
                 3 2 1

eine Matrix aus R^3x3 und x1 = (1,1,1) Prüfen sie ob  der Vektor ein Eigenvektor von A ist.


Bei Aufgabe 1 hab ich leider keinen so richtigen Ansatz...
Bei Aufgabe 2:
Man nimmt die Matrix und multipliziert diese mit dem Vektor und schaut dann, ob sich der Vektor als ein Vielfaches des berechneten Vektors darstellen lässt oder?
Das wäre dann (1,1,6) und damit ist x1 kein Eigenvektor von A oder?
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Das Vorgehen bei Aufgabe 2 ist schonmal richtig. Zu Aufgabe 1. Die erste Aussage ist natürlich offensichtlich falsch. Bei der zweiten Aussage, versuch mal die Linearität zu verwenden und zu zeigen, dass \(f(v_1),\ldots,f(v_n)\) linear unabhängig sind (hierzu brauchst du auch die Injektivität). Anschließend argumentiere mit Aussage 3 (über Bijektivität), dass \(f(v_1),\ldots,f(v_n)\) eine Basis sind. Aussage 4 kannst du unmittelbar mit Aussage 3 beantworten und die letzte Aussage ist so wie die erste ganz offensichtlich (im Allgemeinen) falsch.
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