Grenzwert einer Funktion

Aufrufe: 43     Aktiv: 21.03.2021 um 21:50

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Wie löst man dieses Beispiel?

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Da die Wurzelfunktion stetig ist, genügt es erstmal, den Grenzwert des Terms unter der Wurzel zu ermitteln, also von \( x^2 - x \sqrt{x^2-1} \).
Bei solchen Ausdrücken bietet sich folgender Standard-Trick an: Mithilfe der dritten binomischen Formel erweitern. Man verwendet also die Tatsache, dass \( a-b = \frac{a^2-b^2}{a+b} \) ist.
Wir erhalten
\( x^2 - x \sqrt{x^2 -1} = \frac{x^4 - x^2(x^2-1)}{x^2+x\sqrt{x^2-1}} \)
Wenn du das jetzt noch vereinfachst, dann sollte der Grenzwert des Terms klar sein. Er ist \( \frac{1}{2} \).
Damit erhält man dann den Grenzwert \( \frac{1}{\sqrt{2}} \) für den gesamten Ausdruck.
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