A und B Teilmenge der Menge X - Beweisen Sie die Aussage

Erste Frage Aufrufe: 129     Aktiv: 23.12.2021 um 18:06

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Hallo,

ich habe da eine Aufgabe, bei der ich nicht ganz weiß, wie ich das beweisen soll. Es geht um diese Aufgabe: "Es seien A und B Teilmenge der Menge X:
Es gilt (A (X\B)) <=> B (X\A)) 

Beweisen Sie die Aussage:

Ich habe echt keine Idee, wie ich da vorgehen soll, würde mich echt über ein Tipp freuen :)
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hallo
Da hätte ich beide Implikationen einzeln gezeigt. Also 
$\Rightarrow$ nimm an $A\subset (X\setminus B)$. Dann wählst du ein beliebiges $b\in B$ und möchtest mit der Annahme zeigen, dass $b\in X\setminus A$ liegt, das geht eigentlich ziemlich flott. Die andere Implikation $\Leftarrow$ funktionniert genau gleich, also eigentlich ist sie symmetrisch. verstehst du was ich meine?
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Student, Punkte: 1.45K

 

Also ich hätte jetzt geschrieben: Annahme A ⊂ (X\B) , z.z. B ⊂ (X\A)
Dann sei b ∈ B:
b ∈ B ∧ b ∈ X ∧ b ∉ A

Nun weiß ich nicht wie ich durch umformung, zu A⊂(X∖B) komme.
  ─   winch 22.12.2021 um 20:17

also erstens musst schon begründen wieso $b\notin A$ liegt. und du musst ja gar nicht auf $A\subset (X\setminus B)$ kommen, sonder auf $B\subset (X\setminus A)$ das andere ist ja genau die Annahme. Verstehst du was ich meine?   ─   karate 22.12.2021 um 21:27

Dann sei b ∈ B:
b ∈ B ∧ b ∈ X ∧ b ∉ A| b ∉ A -> weil X ohne A (X\A)
Wenn b Element von B ist, dann ist b auch in X drin.
  ─   winch 22.12.2021 um 21:39

wenn das deine ersten Mengentheoretischen Beweise sind, dann finde ich es wichtig diese rigoros auszuführen und ich bin da noch nicht ganz glücklich denn du musst ja zeigen dass $b\in X\setminus A$ liegt, also kannst du das nicht verwenden um zu zeigen dass $b\notin A$ liegt. Verstehst du was ich meine?   ─   karate 22.12.2021 um 21:47

Ja das ist meine erste Mengen Beweis, sry dafür :)
Annahme A ⊂ (X\B) , z.z. B ⊂ (X\A)

Sei b ∈ B ⊂ (X\A)
b ∈ B ∧ b ∈ X ∧ b ∉ A | b kein Element von A weil X ohne A

Klingt das besser?
  ─   winch 22.12.2021 um 22:01

Kein problem, das muss man üben, daher sage ich dir auch nicht gleich wie ichs machen würde, denn sonst lernst du ja nichts. also mathematisch hat es schon vorhin gut getönt, aber die betonung liegt auf gut getönt, denn logisch korrekt sind beide Beweise von dir leider nicht.

Also bei einer Äquivalenz $P\Leftrightarrow Q$ wobei $P,Q$ irgendwelche Aussagen sind musst du ja zwei Richtungen zeigen. Einerseits musst du zeigen dass aus $P$ folgt $Q$ also mathematisch gesagt $P\Rightarrow Q$ und andererseits musst du zeigen dass aus $Q$ folgt $P$ also mathematisch gesagt $Q\Rightarrow P$
Nun in deinem Fall ist $P:= (A\subset (X\setminus B))$ und $Q:=(B\subset (X\setminus A))$.

Nun möchtest du ja $P\Rightarrow Q$ zuerst zeigen. Das heisst du nimmst an dass die Aussage $P$ stimmt (mit dieser musst du auch wirklich arbeiten). Dann möchtest du zeigen dass die Aussage $Q$ stimmt. Bei uns ist ja $Q$ eine "Teilmengenbedingung". Und wie du hoffentlich weisst bei Teilmengen $U\subset V$ musst du immer zeigen dass für alle $u\in U$ gilt dass $u\in V$ liegt. So nun ist bei dir ja $U:=B$ und $V:=X\setminus A$. Das heisst zusammengefasst:

Beweis:
$\Rightarrow$ wir nehmen an dass $A\subset (X\setminus B)$ sei nun zusätzlich $b\in B$ ein beliebiges Element. Wir möchten zeigen dass $b\in X\setminus A$ liegt. Da $B\subset X$ ist, wissen wir sicherlich dass $b\in X$ liegt. Das heisst wir müssen nur noch zeigen dass $b\notin A$ liegt....

Und wie du merkst haben wir bis hierhin nie die Annahme gebraucht dass $A\subset (X\setminus B)$. Genau die brauchen wir um zu zeigen dass $b\notin A$ liegt. Kannst du dir vorstellen wie wir diese Annahme geschickt brauchen können?
  ─   karate 22.12.2021 um 22:13

Ich versuche es zu verstehen... Aber ich komme nicht darauf.
Wieso können wir nicht zeigen, dass b∉A ist, wenn wir (B⊂(X∖A)) betrachten. So verstehe ich das: B kann gar nicht Element von B sein, weil wir X von A differenzieren, also rausschneiden. Das verstehe ich nicht. Wieso brauchen wir da die Annahme?

  ─   winch 22.12.2021 um 22:41

Das Problem liegt in der Logik. Also wenn wir ja zeigen dass $A\subset(X\setminus B)\Rightarrow B\subset (X\setminus A)$, dann wissen wir ja gar noch nicht dass $B\subset (X\setminus A)$ gilt, das müssen wir ja beweisen, dann ist es falsch wenn du diese Information für den Beweis in diese Richtung $\Rightarrow$ brauchst. Verstehst du wieso wir unsere Annahme brauchen?

Also nochmals vereinfacht gesagt, wenn wir zeigen müssen dass $P\Rightarrow Q$ dann müssen wir ja zeigen dass $Q$ gilt, und dabei dürfen wir NUR $P$ annehmen. Denn wenn wir $Q$ benutzen heisst das ja dass wir wissen dass $Q$ stimmt, aber dann wäre ja der Beweis sinnlos... wir müssen zuerst zeigen dass $Q$ gilt erst dann dürfen wir diese aussage brauchen.

verstehst du was ich meine?
  ─   karate 22.12.2021 um 22:49

Wenn wir also nur P benutzen können, dann müsste man dies mit b kein Element von A, weil A teilmenge von X ohne B ist. Und wir haben unser b als Element von B definiert oder?
  ─   winch 22.12.2021 um 23:13

"Wir möchten zeigen dass b∈X∖A liegt. Da B⊂X ist, wissen wir sicherlich dass b∈X liegt. Das heisst wir müssen nur noch zeigen dass b∉A liegt...."
-> Dazu eine Frage: Wieso durften wir hier dann sagen dass b Element von X ist, da B Teilmenge von X ist.?
  ─   winch 22.12.2021 um 23:23

Hmm nein, also ich sehe deine Verwirrung, hatte ich zu Beginn auch. Aber wir müssen $b\in B$ wählen. Also ich versuchs dir zu erklären. Dir ist bewusst wieso wir $A\subset X\setminus B$ annehmen und $B\subset X\setminus A$ zeigen möchten?
Wenn ja dann habe ichs ja im letzten Satz schon angetönt wir möchten $B\subset X\setminus A$ zeigen unter der genannten Annahme oder?
Na gut wie zeigt man aber das etwas eine Teilmenge von einer anderen Menge ist. Es muss gelten dass $$\forall b\in B, \,\,\,b\in X\setminus A$$ Nur dann ist $B\subset X\setminus A$. Ich hoffe das weisst du. Und genau daher nehmen wir unser $b\in B$ und nicht andest, denn sonst können wir ja gar nicht zeigen dass $B\subset X\setminus A$ gilt. Macht das sinn? Und während dem wir das beweisen brauchen wir dann unsere ursprüngliche Annahme. Macht das sinn? Möchtest du es nochmals versuchen oder soll ich dir weiter helfen also eine Richtung mal beweisen?

Zu deiner Frage, ja genau aus der Aufgabenstellung sehen wir dass $B\subset X$. Und per definition einer Teilmenge gilt $$B\subset X\Leftrightarrow \forall b\in B \,\,\,\text{haben wir}\,\,\,b\in X$$
  ─   karate 22.12.2021 um 23:23

"Dir ist bewusst wieso wir A⊂X∖B annehmen und B⊂X∖A zeigen möchten?"
Ja, wir machen eine Annahme um daraus etwas zu zeigen.
Ich versuch es noch einmal:

Annahme: A ⊂ (X\B) , z.z. B ⊂ (X\A)
sei b fest aber beliebig
b ∈ B => b ∈ X | weil B ⊂ X
∧ b ∉ A | da, A ⊂ X ohne B ist.
=> b ∈ X \ A
  ─   winch 22.12.2021 um 23:43

Super ja genau. Darf ich dir noch gewisse tipps für Beweise mit auf den Weg geben?
Ich meine all diese mathematischen Zeichen sind wunderschön und ziemlich praktisch, aber man darf nie vergessen auch mal einen Satz zu schreiben. Denn das hier sind "einfache", kurze Beweise da spielt es nicht so eine Rolle ob man viele Wörter benutzt oder nicht. Doch wenn du mathematik studierst (nehme ich mal an) dann wirst du später auch grössere Beweise machen und in der Vorlesung sehen. Dann merkst du ziemlich schnell dass es einfacher geht sätze zu lesen als diese Zeichen, man ist schneller unterwegs und zusätzlich kann man in Sätzen teils seine Gedankengänge noch gut festhalten, vor allem wenn sie nicht trivial sind. Verstehst du was ich meine.

Nun würde ICH den Beweis wie folgt aufschreiben (beachte, ich zeige hier auch noch rigoros wieso $b\notin A$ liegt, du hast gesagt es folgt aus $A\subset X\setminus B$ was auch stimmt aber ich zeige es noch ganz genau ohne dass jemand zweifel an deiner Aussage haben kann.Also:

Beweis:
$\Rightarrow$
Wir nehmen an dass $A\subset X\setminus B$ und wählen $b\in B$ beliebig aber fest. Dabei müssen wir zeigen dass $b\in X\setminus A$ liegt. Nun da $B\subset X$ folgt direkt dass $b\in X$ liegt. Also was noch übrig bleibt ist zu zeigen dass $b\notin A$. (hier hast du gesagt dass es aus der Annahme folgt)
Dies Beweisen wir per Widerspruch. Wir nehmen also an $b\in A$. Aus $$A\subset X\setminus B$$ folgt dass $b\in X\setminus B \Rightarrow b\notin B$ das ist aber ein Widerspruch zur Wahl dass $b\in B$ liegt.
Daher ist $b\notin A$. Das heisst $b\in X\setminus A$ da nun das für alle $b\in B$ gilt haben wir $B\subset X\setminus A$

$\Leftarrow$
(diese Seite ist genau gleich, mit der zeit kannst du dann bei solchen sachen hinschreiben da die Situation symmetrisch ist, folgt diese Implikation durch einen ähnlichen Beweis wie oben.) Das darfst du aber zu Beginn noch nicht machen. Daher würde ich dir empfehlen mach diese Implikation alleine und dann darfst du sie gerne hineinstellen und wir schauen sie uns an.
q.e.d.

ich hoffe das macht sinn so.
  ─   karate 22.12.2021 um 23:57

Echt schön, wie du das aufgeschrieben hast. Danke. Dass man das auch mit einem Widerspruch zeigen kann, ist auch eine gute Idee :)
Ich werde mich nochmal morgen an die Aufgabe setzen, bin müde, und dann aus dieser Annahme: B⊂X∖A , zeige ich dann A⊂X∖B.
Nochmals danke für deine Geduld mir gegenüber :D
Ach ja, ich studiere gerade Informatik im 1. Semester und diese Aufgabe ist vom Algebra Modul :)
  ─   winch 23.12.2021 um 00:16

Ah okei ja aber auch im Informatikstudium wirst du sicherlich noch einige Beweise sehen und vielleicht auch selbst machen (kenn mich da nicht aus). Aber bin froh dass ich dir geholfen habe. Du darfst die andere Richtung gerne auch hier anhängen, dann haben erstens andere Leser eine komplette Lösung und ich kann sie auch nochmals anschauen.   ─   karate 23.12.2021 um 08:12

Mach ich gerne:
"⇐"
Beweis nach "meiner Art":
Annahme: B ⊂ (X\A) , z.z. A ⊂ (X\B)
sei a fest aber beliebig
a ∈ A => a ∈ X | weil A ⊂ X
∧ a ∉ B | da, B ⊂ X ohne A ist.
=> a ∈ X \ B

Beweis nach deiner Art:
Wir nehmen an: B ⊂ (X\A) und wollen A ⊂ (X\B zeigen.
Sei a beliebig aber fest.
a ∈ A => a ∈ X, weil A eine Teilmenge von X ist. Nun müssen wir nur noch zeigen, dass a kein Element von B ist. Dies können wir durch ein Widerspruchsbeweis zeigen: Wir nehmen also an a wäre ein Element von B. Aus B ⊂ (X\A) folgt aber, dass a kein Element von B ist, da dies ein Widerspruch zur Wahl dass a ∈ A ist.
q.e.d
  ─   winch 23.12.2021 um 15:47

Hallo
Wow ja genau so! Finde ich super, also vorallem der zweite😉. Nein spass ist beides korrekt nur der zweite ist detaillierter, da du den widerspruchsbeweis noch hast, den könntest du alternativ auch noch in deine Variante tun, dann ist sie auch vollständig einfach nur mit „Zeichen“ statt Sätzen aber wie gesagt ich finde das zweite viel angenehmer zum lesen. Wenn du weitere Probleme irgendwo hast einfach melden, beweise sind immer so eine Sache aber wenn du mal einen Ansatz hast kann man damit arbeiten, vorallem wird dann das schwierige mit der Zeit sein, den richtigen Ansatz zu finden. Denn das formulieren geht dann schnell. Daher wichtig eigne dir hier einen schönen, logischen Beweisstiel an in „einfachen, kurzen“ Aufgaben, denn dann kannst du darauf aufbauen und musst nicht noch auf das achten.
Also wünsche dir wunderschöne Festtage und schöne Weihnachten. Bis zum nächsten mal
  ─   karate 23.12.2021 um 17:53

Danke dir auch :) So ein gutes Gefühl wenn man ein Problem gelöst hat und dann es auch noch verstanden hat, deswegen studiere ich Informatik <3   ─   winch 23.12.2021 um 18:06

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