Konvexe, koerzive Funktion - Aufgabe

Aufrufe: 34     Aktiv: 30.06.2021 um 23:24

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Hallo,

ich habe hier eine Aufabe mit Lösungsweg vor mir. Die Aufgabe lautet:
Ist \(f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}\) strikt konvex und koerziv, das heißt \(\underset{|x|\rightarrow \infty}{lim}f(x)=\infty\), so besitzt \(f\) genau eine lokale Minimalstelle \(x_0\) und es gilt \(f(x_0)=min_{\mathbb{R}^n}f\).

Im Lösungsweg steht dann:

Wegen der Koerzivität exisitiert eine abgeschlossene Kugel
\(B = B_r^-(0)\) so, dass \(f|_{\mathbb{R}^n\backslash\{B\}}>f(0)\).

Da gilt: \(f\) ist konvex \(\Rightarrow\) \(f\) ist stetig, gilt auch:
\(m:= \underset{\mathbb{R}^n}{inf}\space f=\underset{B}{inf}f=\underset{B}{min}f>-\infty\)

Den Rest verstehe ich, aber vor Allem den ersten Schritt mit der abgeschlossenen Kugel und das hier verstehe ich nicht. (Also warum folgt z.B. aus der Koerzivität, dass diese abgeschlossene Kugel exisitert?)

Wenn mir das jemand erklären (bzw. helfen) kann (oder auch nur Teile davon) wäre ich sehr dankbar!

Danke im Voraus und LG

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