Ich finde die Notation nicht so gut, daher lass mich folgendes einführen: $S_i$ ($i=1,2,3$) ist der $i$-te Spin des Glücksrads und $G$ ist das Ereignis, dass die Summe der Spins $6$ ist.

$$P(G)=p^3+(1-p)^2$$,

das setzt sich aus den Kombinationen $3+3$ sowie $2+2+2$ zusammen. Jetzt wissen wir, dass die Wahscheinlichkeit

$$P(G \cap \{S_1=2 \})=p^3$$.

Jetzt wissen wir

$$P(\{S_1=2 \})=p$$

und nutzten nun die stochastische Unabhängigkeit, also

$$P(G \cap \{S_1=2 \})=P(\{S_1=2 \})P(G).$$

Eingesetzt ergibt sich:

$$p^3=p(p^3+(1-p)^2)$$

und das sollte eigentlich die finale Antwort sein. Durch $p$ teilen gibt das Ergebnis der Musterlösung, wenn man den Fall $p=0$ ausschließen möchte. Ich halte das aber für mathematisch nicht sehr korrekt, daher als kleine Anmerkung: Das "triviale" Glücksrad nur mit der Zahl $3$, also $P( \{ S_i=3 \})=1$, was zum Fall $p=0$ korrespondiert, erfüllt auch diese Voraussetzung.

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Beim Üben der nächsten Aufgabe solltest du versuchen erst selbst eine eigene Lösung zu finden und nicht die Musterlösung nachvollziehen zu wollen. Auch in Lösungen stecken häufig Fehler!

Womit fängt man bei b) denn an? Du hast zwei Ereignisse gegeben, $E$ und $G$. Als erstes könntest DU ja mit Hilfe des Baumdiagramms in a) die Wahrscheinlichkeiten $P(E)$ und $P(G)$ in Abhängigkeit von $p$ berechnen. Was erhältst du? Liefere gerne deine Gedanken in die Kommenare. Falls du das schon gemacht hast, bitte immer beim Stellen der Fragen mitliefern. Dann kann Hilfe da einsetzen wo sie gebraucht wird.

Um damit dann weiter zu einer Lösung zu kommen, überlegt man sich welche "Gleichungen" bei stochastisch unabhängigen Zufallsvaribalen gelten. Dies kannst du ja mal in deinen Unterlagen in Erfahrung bringen, welche Gleichheiten findest du?