(Hebbare) Definitionslücken und Polstellen

Aufrufe: 507     Aktiv: 12.04.2021 um 08:57

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Hallo, ich beschäftige mich gerade mit Definitionslücken.


Bisher dachte ich, dass ich das Thema soweit verstanden habe aber nun komme ich bei den etwas komplexeren Funktionen nicht mehr weiter.

Es geht um folgende gebrochenrationale Funktionen, ich habe meine Vermutungen und Begründungen in kursiv dazugeschrieben.

f(x)= x/x² (Polstelle, da sich x kürzen lässt und 1/x bei x=0 eine Polstelle besitzt)

g(x)=x/x (hebbare Definitionslücke, da sie sich rauskürzen lässt)

h(x)=x²/x (hebbare Definitionslücke, da nach dem Kürzen die Kriterien für eine Polstelle nicht erfüllt sind)



Könnt Ihr mir bitte eine Rückmeldung geben, ob meine Vermutungen & Begründungen falsch oder richtig sind?

Und kann man eigentlich im Allgemeinen sagen, dass es sich immer dann um eine hebbare Definitionslücke handelt, wenn die Kriterien für eine Polstelle nicht erfüllt sind ? 

(mit Kriterien meine ich, dass bei einer Polstelle für eine Stelle x  bei einer gebrochenrationalen Funktion der Nenner =0 und der Zähler ungleich 0 sein muss)

Vielen Dank im Vorraus :)
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Das ist alles richtig, Deine Vermutungen und Begründungen.
Bei g und h kannst Du auch die gleiche Begründung verwenden. Ich würde noch ergänzen ".... hebbar in x=0 mit Funktionswert g(0)=1 (bzw. h(0)=0)".
Und diese Beispiele f,g,h sind sehr gut, weil da ohne Rechnung das Prinzip klar wird, und man es sich daher leicht merken kann.
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Vielen Dank für Ihre Antwort. Geht Ihrer Meinung nach auch das unten erwähnte Ausschlussverfahren? Weil ich finde es immer viel leichter die Polstellen zu bestimmen als die hebbaren Definitionslücken. Natürlich bräuchte man noch einen Rechenweg bzw. eine Begründung aber als Probe wäre es vielleicht ganz nützlich (vorausgesetzt es funktioniert überhaupt)   ─   leni0245 10.04.2021 um 18:05

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So wie ich das sehe, ist das nicht alles richtig, was der Fragesteller da sagt.
Dass keine Polstelle vorliegt, muss nicht heißen, dass die Definitionslücke hebbar ist. Es kann sich auch um eine wesentliche Singularität handeln. Beispiel: \(f(x)=e^{\frac{1}{x}} \).
Deshalb würde ich die Begründung für h auch so nicht durchgehen lassen.
Generell würde ich auch eher empfehlen, auf die Definitionen von hebbare Definitionslücke und Polstelle zurückzugreifen. Das erscheint mir sinnvoller als nur mit dem Kürzen zu argumentieren.
  ─   42 10.04.2021 um 18:16

Mein Problem ist, dass wir Polstellen und hebbare Definitionslücken nie eindeutig definiert haben. In unserem Schulbuch wird auf sie nur im Hinblick auf gebrochenrationale Funktionen eingegangen. Wir haben gelernt, dass eine Polstelle dann vorliegt, wenn N=O und Z≠0.

Für den Fall, dass N=0 und Z=0 sollen wir die Funktion umformen und kürzen bis eine neue Funktion entsteht und anhand dieser dann entscheiden, ob es sich um eine Polstelle oder eine hebbare Definitionslücke handelt. (wir arbeiten mit dem Mathebuch für die Kursstufe von Lambacher Schweizer -Baden-Württemberg)

Es wird dort auch an einem Beispiel erklärt, jedoch leider keine allgemeine Lösung geliefert. Ich habe es mir dann versucht mit dem Internet beizubringen und wiederholt gelesen, dass Definitionslücken, die sich rauskürzen lassen, als hebbare Definitionslücken bezeichnet werden.

Gibt es eine bessere Möglichkeit hebbare Definitionslücken zu erkennen und zu definieren?
  ─   leni0245 10.04.2021 um 20:14

Ok, vielen Dank :)
  ─   leni0245 12.04.2021 um 08:57

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