Quadratische Gleichung (Viéta?)

Aufrufe: 109     Aktiv: 30.08.2021 um 18:05

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Hallo zusammen, ich habe einige Aufgaben zu lösen. Hier ist eine davon (die anderen ähneln sich) Bilde eine Gleichung 2. Grades in der Unbekannten $x$, deren Nullstllen: 1) entgegengesetzt von denen von $3x^{2}-2x-1=0$ sind. 2) ... (ohne die Nullstellen der gegebenen Gleichungen zu berechnen). Ich glaube, dafür den Satz von Viéta benutzen zu müssen. .... Entschguldigung: ich schreibe mit Firefox, aber irgendwi fuunktionert weder die Textformatierung noch die "an die Linie". Vielen Dank für Eure Hilfe
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Satz von Vieta kenne ich immer funktionierend nur für a=1  c:  ganzzahlig sowie einige ausgesuchte Beispiele, bei denen es dennoch auch anders funktioniert.
Hier würde ich einfach an der yAchse spiegeln.
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Man kann jede quadratische Gleichung aber auf die Normalform bringen und er gilt dann auch für beliebige reelle Zahlen $p$ und $q$.   ─   cauchy 30.08.2021 um 15:32

Ja, aber pq = -4/3 ist dann eben nicht mehr so einfach überschaubar wie pq=4, und wie gesagt kenne ich die Formulierung so, dass es um ganzzahlige Nullstellen im ganzzahligen Absolutglied geht, wenn man effizient damit arbeiten will (sonst geht Lösungsformel meist schneller)   ─   monimust 30.08.2021 um 15:38

Das hast ja - zumindest aus mathematischer Sicht - nichts damit zu tun, dass der Satz "nicht funktioniert". ;)

Die Spiegelung an der y-Achse finde ich hier aber auch naheliegender.
  ─   cauchy 30.08.2021 um 15:40

Funktioniert meinte ich im Sinne von anwenderfreundlich und nicht, ob ein Hochleistungscomputer nach 24h eine Lösung ausspuckt.   ─   monimust 30.08.2021 um 15:45

Es geht doch gar nicht darum die Nullstellen zu berechnen - das soll gerade nicht gemacht werden.
  ─   mikn 30.08.2021 um 15:48

Du meinst ein anderes Vorgehen, aber an Vieta denkt Otto Normalsterblicher bei merkwürdigen Zahlen nicht als Erstes ;)   ─   monimust 30.08.2021 um 15:57

Sorry, ich hatte die falsche Gleichung eingesetzt. Ist jetzt verbessert. Daher findet man die Nullstellen mittels Viéta einfacher.
Eine Spiegelung geht ja erst einmal nicht, denn dazu sind ja die Nullstellen nötig, die ich aber nicht berechnen darf.
Wir sind gerade beim Thema Viéta, daher auch das MUSS oben in der Frage.
  ─   lefagnard 30.08.2021 um 16:06

Die Spiegelung eines Graphen an der y-Achse erhält man, wenn man $f(-x)$ berechnet.   ─   cauchy 30.08.2021 um 16:09

Ah, ich dachte schon Alzheimer, egal, sollte ja auch mit den komischen Zahlen von vorher funktionieren.
Klar, wenn Vieta das Thema ist, läuft es wohl darauf hinaus. Aber dann solltest du trotzdem ohne konkrete Berechnung auskommen.
Für die Spiegelung benötigst du lediglich den gespiegelten Scheitelpunkt (Minimum), an den kommt man auch ohne Nullstellen. Streckung und Öffnung nach oben bleiben gleich.
  ─   monimust 30.08.2021 um 16:12

Auch wieder richtig. Danke sehr.   ─   lefagnard 30.08.2021 um 16:49

Spiegelung, Scheitelpunkt braucht man alles nicht.   ─   mikn 30.08.2021 um 17:29

Die Spiegelung ist meines Erachtens sogar einfacher als Vieta. Den Scheitelpunkt braucht man dafür aber wirklich nicht. Man könnte also auch genauso gut sagen, dass man den Satz von Vieta nicht braucht. ;)   ─   cauchy 30.08.2021 um 17:33

Richtig. Siehe auch meine Bemerkung zu "man muss .... benutzen". Aber wenn der Fragesteller eine gute, brauchbare Idee hat, unterstütze ich ihn lieber bei seiner Idee. Und ob Spiegelung (mit notwendig dazugehörenden Einsetzen/Ausrechnen von f(-x)) für den Fragesteller einfacher ist als Vieta, weiß ich nicht. Bei dem, was man hier im Forum zum Gebrauch von Klammern beim Potenzieren sieht, bin ich da erstmal skeptisch.   ─   mikn 30.08.2021 um 17:39

Was heißt " man braucht nicht?" Wer ist (in diesem Forum) man? Und welche Voraussetzungen hat man? Insbesondere, wenn die Aufgabe nicht klar formuliert und falsch aufgeschrieben ist, führen zwar viele Wege nach Rom aber nicht alle sind für jeden ersichtlich oder gangbar.8   ─   monimust 30.08.2021 um 17:58

@monimust ist ja das, was ich sage. In diesem Fall hier kennt man (wie fast immer hier im Forum) zwar die Voraussetzungen (im Sinne von benutzbarer Vorkenntnisse) nicht, aber die Aufgabe ist klar formuliert und richtig aufgeschrieben. Das ist ja nicht selbstverständlich hier   ─   mikn 30.08.2021 um 18:04

Unabhängig davon, was der Fragesteller kann oder welche Idee er hat, kann es aber dennoch wertvoll sein, auch andere Lösungen zu sehen. Selbstverständlich sollten die eigenen Gedankengänge des Fragesteller dadurch nicht verworfen werden und andere Ansätze zur Verwirrung führen. Vielen fehlt einfach das grundsätzliche Verständnis, wie man von Ausgangslage A zur Lösung B kommt. Daher finde ich es immer gut und sinnvoll, wenn mehrere Wege aufgezeigt werden. Und eine Spiegelung an der y-Achse ist da sehr naheliegend, wenn man sich das Problem einmal veranschaulicht.   ─   cauchy 30.08.2021 um 18:05

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Es gibt selten ein "muss ... benutzen" in der Mathematik. Der SdV ist aber hier eine gute Idee. Nun mach da mal weiter: schreib den SdV hin, setze die "entgegengesetzten Nullstellen" ein und beobachte, wie sich das auf die Koeffizienten in der Gleichung auswirkt.
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Hallo @mikn.

erst einmal: Ich hatte oben die falsche Gleichung eingesetzt und jetzt verbessert.

Vielen Dank für Deine Antwort.
Ich schreibe Viéta, weil wir dieses Thema gerade bearbeiten.
Allerdings steht ja doch auch "ohne die Nullstellen zu berechnen".
Die entgegengesetzten Nullstellen einsetzen, wenn die Nullstellen bekannt sind ist einfach. Aber ohne??? Da hänge ich.
Ich habe jetzt erst einmal die Nullstellen berechnet ($x_{1}=1, x_{2}=-\frac{1}{3}$)
Wenn ich die entgegengesetzten Zahlen nach Viéta schreibe, stelle ich fest, dass dadurch die Summe entgegengesetzt ist ($-\frac{2}{3}\:statt\:\frac{2}{3}$), das Produkt bleibt gleich.
Bleibt die Frage, ob das immer so ist oder hier eher ein Zufall.
  ─   lefagnard 30.08.2021 um 16:00

Wenn $x_1$ eine Nullstelle ist, dann ist $-x_1$ die entgegengesetzte Nullstelle. Du musst die konkrete Zahl also nicht kennen.   ─   cauchy 30.08.2021 um 16:07

Ach ja, klar. Danke.
Dann ist ja auch klar, dass hier die gesuchte Summe die entgegengesetzte der ausgehenden ist.
  ─   lefagnard 30.08.2021 um 16:08

Genauso ist es. Und alles ohne die Nullstellen zu kennen (daher sind auch die Zahlen in der Gleichung relativ egal).   ─   mikn 30.08.2021 um 17:27

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