Großer Durchschnitt

Erste Frage Aufrufe: 131     Aktiv: 23.12.2021 um 23:16

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Wie kommt man auf = {1}?
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Hallo abel.tmrt,

sei $M_n:=\{1,2,\ldots,n\}$.

Dann ist $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n$ die Menge aller Objekte $x$ mit $x\in M_n$ für alle $n\in\mathbb{N}$
(Anschaulich: Der Schnitt enthält alles, was in allen geschnittenen Mengen gleichzeitig liegt.).

Für jedes solche Objekt $x$ gilt insbesondere $x\in M_1=\{1\}$.

Somit gilt $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n\subseteq\{1\}$.

Jetzt ist nur noch $\bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n\supseteq\{1\}$ zu überlegen.

Dazu genügt es, die Gültigkeit von $1\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}} M_n$ zu zeigen.

Viele Grüße
Tobias
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Das große Durchschnittzeichen ist eine Abkürzung, genau wie das Summenzeichen. Mit der Bezeichnung $M_n:=\{1,2,3,\ldots,n\}$ ist dann also
$\bigcap M_n = M_1\cap M_2\cap M_3....$ gesucht.
Wie beim Summenzeichen erledigen sich die meisten Fragen, wenn man die Abkürzung ausschreibt. Das hab ich für Dich schon gemacht. Du musst also nur noch schrittweise die Schnittmengen ausrechnen.
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Danke!!   ─   abel.tmrt 23.12.2021 um 12:33

Hallo mikn, was meinst du genau mit der Schreibweise $M_1\cap M_2\cap M_3\ldots$ ? Was meinst du mit "schrittweise die Schnittmengen ausrechnen"? Welche Schnittmengen sollen ausgerechnet werden und welchen Zusammenhang haben diese Schnittmengen mit dem gesuchten großen Durchschnitt und warum?   ─   tobit 23.12.2021 um 20:24

Das ist einfach die Definition vom großen Schnitt, was man sich hier klarmachen sollte. Und schrittweise bedeutet hier, dass man einfach die Assoziativität ausnutzt, das heißt, man rechnet erst $M_1\cap M_2$ aus. Dann bildet man von dieser Menge den Schnitt mit $M_3$, von diesem Schnitt den Schnitt mit $M_4$ und so weiter...   ─   cauchy 23.12.2021 um 21:23

Hallo cauchy, danke für deinen Erklärungsversuch. Sei $N_1:=M_1$ und $N_{n+1}:=N_n\cap M_{n+1}$ für alle $n\in\mathbb{N}$ (rekursive Definition). Dein Vorschlag ist also, für alle $n\in\mathbb{N}$ die Menge $N_n$ auszurechnen. Was haben die Mengen $N_n$ nun mit der gesuchten Menge $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}M_n$ zu tun?
Mir ist immer noch völlig unklar, was $M_1\cap M_2\cap M_3...$ eigentlich bedeuten soll, also wie die Definition dieses Ausdrucks lautet. Der Ausdruck $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}M_n:=\{x\;|\;\forall n\in\mathbb{N}\colon x\in M_n\}$ ist hingegen völlig klar definiert.
  ─   tobit 23.12.2021 um 21:41

Was ist an dem Ausdruck $M_1\cap M_2\cap\dots \cap M_n$ denn unklar? Du bildest einfach nach und nach den Schnitt der Mengen. Was $N_n$ mit dem großen Schnitt zu tun hat? $N_n=\bigcap\limits_{i=1}^n M_n$. Wie mikn schon sagte, kann man sich das wie das Summenzeichen vorstellen.   ─   cauchy 23.12.2021 um 21:49

Am Ausdruck $M_1\cap M_2\cap\ldots\cap M_n$ (mit endlich vielen Mengen) ist gar nichts unklar, aber wie soll der Ausdruck $M_1\cap M_2\cap M_3\ldots$ definiert sein? Ja, $\bigcap_{i=1}^n M_i$ ist rekursiv genauso definiert wie die $N_n$ und stimmt somit mit $N_n$ überein. Aber was haben die Mengen der Form $\bigcap_{i=1}^n M_i$ für $n\in\mathbb{N}$ nun mit der gesuchten Menge $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}M_n$ zu tun?   ─   tobit 23.12.2021 um 21:58

@cauchy, tobit: Wir hatten die gleiche Diskussion schonmal. Mein Ziel war, dass der Frager verstanden hat, wie man es ausrechnet, und aus seiner Reaktion entnehme ich, dass das gelungen ist.   ─   mikn 23.12.2021 um 21:58

@mikn: Ich erkenne ausdrücklich an, dass hier eine suggestive Notation hilfreich für den Fragesteller war. Man kann gerne endliche Schnitte ausrechnen, solange man lustig ist, das mag dem Verständnis förderlich sein. Nur so zu tun, als sei ein unendlicher Schnitt durch endlich häufiges Schneiden auszurechnen, deutet auf ein grobes Missverständnis hin. Und eine suggestive Notation (deren Bedeutung man auf Nachfrage selbst nicht erklären kann) als Definition darzustellen, ist mathematisch grob falsch, auch wenn es dem Fragesteller hier nicht aufgefallen ist.   ─   tobit 23.12.2021 um 22:17

Fälschlicherweise habe ich den Ausdruck als endlichen Schnitt dargestellt (zumindest bei meiner Nachfrage). Es stellt sich dennoch die Frage, warum unklar ist, dass $M_1\cap M_2\cap M_3\cap \dots $ entsprechend den unendlichen Schnitt darstellen soll.   ─   cauchy 23.12.2021 um 22:22

@cauchy Also $M_1\cap M_2\cap M_3\ldots:=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}M_n$, oder? Also ist $M_1\cap M_2\cap M_3\ldots$ nur eine Schreibweise für $\bigcap_{n\in\mathbb{N}}M_n$? Dann hat aber $M_1\cap M_2\cap M_3\ldots$ nichts mit endlichen Schnitten wie z.B. $M_1\cap M_2$ zu tun.   ─   tobit 23.12.2021 um 22:37

Du machst es immer wieder komplizierter als es ist... $M_1\cap M_2\cap M_3\cap \dots = ((M_1\cap M_2) \cap M_3)\cap \cdots $   ─   cauchy 23.12.2021 um 22:41

Wie ist $((M_1\cap M_2)\cap M_3)\cap\ldots$ definiert?   ─   tobit 23.12.2021 um 22:45

Also so langsam fühle ich mich echt verarscht. Noch nie Klammern in der Mathematik gesehen? Und noch nie gesehen, wenn man von mehreren Mengen hintereinander den Schnitt bildet, sowas wie $A\cap B\cap C$? Letztendlich ist das nichts anderes als deine rekursive Definition. Du bildest zuerst den Schnitt der ersten $n$ Mengen $N_n$ und dann $N_{n+1}=N_n \cap M_{n+1}$. Damit wollte ich nur verdeutlichen, dass du erst den Schnitt von $M_1$ und $M_2$ bildest. Dann davon den Schnitt mit $M_3$ usw. Das hab ich nun aber auch schon gefühlt zwanzig mal gesagt. Ich weiß nicht, wieso du da nun so ein Riesenproblem draus machst...   ─   cauchy 23.12.2021 um 22:51

Als Diplom-Mathematiker habe ich oft Klammern gesehen, natürlich auch sowas wie $A\cap B\cap C$. Aber $((M_1\cap M_2)\cap M_3)\cap\ldots$ mit den Pünktchen am Ende habe ich noch nie gesehen. Daher frage ich dich nach der Definition.   ─   tobit 23.12.2021 um 22:56

Was Pünktchen in der Mathematik bedeuten weißt du dann hoffentlich auch. Oder muss ich dir auch erklären, wie $1+2+3+4+\dots $ definiert ist? Anscheinend hast du aber genau mit dieser Notation ein Problem (warum auch immer), denn sonst wäre diese ganze Diskussion ja gar nicht erst entstanden...   ─   cauchy 23.12.2021 um 23:03

Vermutlich meinst du mit $1+2+3+4+\ldots$ entweder die Reihe $\sum_{i=1}^\infty i$ (also die Abbildung $f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}, n\mapsto \sum_{i=1}^n i$) oder deren uneigentlichen Grenzwert $\infty$ (d.h. für alle $K\in\mathbb{R}$ existiert ein $N\in\mathbb{N}$ mit $f(n)\ge K$ für alle $n\ge N$). Diese Definitionen haben aber wohl nichts mit $((M_1\cap M_2)\cap M_3)\cap\ldots$ zu tun?   ─   tobit 23.12.2021 um 23:14

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