Begründung für Gültigkeit der Bedingung f(x)=f(x+k) für alle k>0 bei f(x)=-x^3*e^(1-x)

Erste Frage Aufrufe: 423     Aktiv: 05.12.2021 um 18:39
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Guten Tag allerseits,

ich bin auf eine Aufgabe im Themengebiet "Exponentialfunktionen" gestoßen, bei der es darum geht, dass ein Fisch in ein Aquarium gelassen wird und dann von x=0 an nach rechts schwimmt. Seine Position beim Schwimmen wird fortlaufend durch die Funktion f(x) = -x^3 * e^(1-x) angegeben. Nun lautet eine der weiterführenden Aufgaben: Finden Sie heraus, ob die Gleichung f(x)=f(x+k) für alle k > 0 eine Lösung besitzt.

Zu den Aufgaben ist auch eine Musterlösung gegeben, allerdings verstehe ich die dortige Argumentation nicht. Hier wird damit argumentiert, dass es wegen f(0)=0 und f(x) -> 0 für x -> ∞, immer eine geeignete Stelle x vor dem Minimum bei 3 gibt.

Ich bin dankbar für jede Idee.
Viele Grüße
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Zeichne den Graphen und wähle ein $x$ vor dem Minimum aus. Nun kannst du immer ein $k>0$ finden, so dass $f(x) =f(x+k)$, dabei liegt $x+k$ hinter dem n Minimum. Das liegt daran, dass sowohl vor als auch hinter dem Minimum jeder Wert zwischen 0 und dem Minimum angenommen wird, einmal davor und einmal dahinter. Das $k$ kann dabei beliebig groß werden, da $f(x) \rightarrow 0$. Anschaulich dürfte das schnell klar werden.
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