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Guten Tag allerseits,

ich bin auf eine Aufgabe im Themengebiet "Exponentialfunktionen" gestoßen, bei der es darum geht, dass ein Fisch in ein Aquarium gelassen wird und dann von x=0 an nach rechts schwimmt. Seine Position beim Schwimmen wird fortlaufend durch die Funktion f(x) = -x^3 * e^(1-x) angegeben. Nun lautet eine der weiterführenden Aufgaben: Finden Sie heraus, ob die Gleichung f(x)=f(x+k) für alle k > 0 eine Lösung besitzt.

Zu den Aufgaben ist auch eine Musterlösung gegeben, allerdings verstehe ich die dortige Argumentation nicht. Hier wird damit argumentiert, dass es wegen f(0)=0 und f(x) -> 0 für x -> ∞, immer eine geeignete Stelle x vor dem Minimum bei 3 gibt.

Ich bin dankbar für jede Idee.
Viele Grüße
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Schüler, Punkte: 87

 
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1 Antwort
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Zeichne den Graphen und wähle ein $x$ vor dem Minimum aus. Nun kannst du immer ein $k>0$ finden, so dass $f(x) =f(x+k)$, dabei liegt $x+k$ hinter dem n Minimum. Das liegt daran, dass sowohl vor als auch hinter dem Minimum jeder Wert zwischen 0 und dem Minimum angenommen wird, einmal davor und einmal dahinter. Das $k$ kann dabei beliebig groß werden, da $f(x) \rightarrow 0$. Anschaulich dürfte das schnell klar werden.
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Hm, die Argumentation passt nicht so ganz. Es sollte doch zu jedem k so ein x gefunden werden.   ─   mikn 05.12.2021 um 13:45

In erster Linie ging es darum, anschaulich zu verstehen, was gemeint ist. Dazu ist es einfacher, sich ein $x$ vor dem Minimum zu wählen, um zu sehen, dass es $x+k$ hinter dem Minimum gibt, so dass die Funktionswerte gleich sind. Wenn man das verstanden hat, kann man dann relativ schnell einsehen, dass man für jedes beliebige $k>0$ ein passendes $x$ finden kann.   ─   cauchy 05.12.2021 um 18:37

@cauchy: Diese Ergänzung fehlte aber oben, und so kann der ungeübte Leser (der nicht so genau hinschaut ob zu jedem x oder zu jedem k) glauben, dass diese Begründung die Frage in der Aufgabe beantwortet. Tut es eben aber nicht.   ─   mikn 05.12.2021 um 18:39

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