Der Ausdruck \( R \gg x \) bedeutet, dass \( R \) viel größer als \( x \) sein soll. Das hat dann zur Folge, dass \( 1-\frac{x^2}{R^2} \) sehr nahe bei \(1\) liegt.

Für eine Funktion \( f \) gilt ja \( f(y) \approx f(1) + f^\prime(1) \ (y-1) \), wenn \(y\) nahe bei \(1\) liegt. Verwende diese Approximation für die Wurzelfunktion und \( y=1-\frac{x^2}{R^2} \). Das sollte dich hoffentlich zum Ziel führen.

Übrigens: In deiner Lösung sind in den ersten drei Umformungen Fehler drin. Offenbar fällt es dir schwer, die binomische Formel und die Potenzgesetze richtig anzuwenden. Für die Lösung der Aufgabe ist das zwar irrelevant, aber vielleicht solltest du dir das trotzdem noch mal anschauen.