Heine borel, Topologie, Beweis

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wie kann man den Satz von Heine-Borel in der Topologie beweisen OHNE über Produkttopologie des Quaders und seine topologischen Äquivalenz zu einem Unterraum des Rn zeigen?
ich habe bereits den Beweis durchgeführt jedoch verwendete ich hier als Vorwissen das der Quader topoligisch äquivalent ist zu einem Unterraum des Rn, was leider durch die Produkttopologie und ihre Sätze der Kompaktheit gezeigt werden muss als Vorwissen, was wir jedoch nicht benutzten dürfen, da wir dies in der Vorlesung noch nicht hatten. 

Das hatte ich gemacht, für den Satz von Heine Borel zu beweisen:

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Nur "\(\Leftarrow\)" ist schwierig. Benutze, dass metrische Räume genau dann kompakt sind, wenn sie folgenkompakt sind. Verwende den Satz von Bolzano-Weierstraß.

Hilft das?
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