Taylorentwicklung

Aufrufe: 787     Aktiv: 07.01.2020 um 12:55
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Guten Abend liebe Mathefreunde,

ich bereite mich zur Zeit auf eine Klausur vor und die Taylorentwicklung ist Teil dieser bevorsthenden Klausur. Dazu habe ich mir eine alte Klausurreko gegriffen, um mich damit vorzubereiten. Leider ist die explizite Aufgabenstellung nicht vorhanden, sondern folgende Informationen liegen mir vor:

\(f(x) = (1+a^x)^2\) mit \( a > 0, a \neq 1\)

Ich weiß, dass ich zum Entwickeln einer Taylorreihe n Ableitungen benötige (sofern nicht speziell vorgegeben). Dazu leite ich meine Funktion einige male ab, um dann ein Muster zu erkennen, durch das ich \(f^n(x)\) bilden bzw. erahnen kann. Dann muss ich doch nichts weiter machen als \( \sum_{k=0}^{n} \frac {f^n(x_0)} {k!}(x-x_0)^k\) aufstellen und ggf. zu vereinfachen oder?

Ich habe die ersten drei Ableitungen gemacht, komme aber nicht wirklich auf die n-te Ableitung. Mache ich einen Fehler oder übersehe ich etwas?

Desweitern würde ich gerne wissen, inwiefern ich den Parameter \(a\) beachten muss? Bei sowas habe ich immer meine Probleme. Rein nach meinem Bauchgefühl würde ich ihm einen Wert geben (z.B. \(2\)) und einsetzen.

Ich danke euch im Voraus!

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Hallo,

a kannst du wie eine Zahl behandeln und einfach stehen lassen - das ist ein Parameter der keine weitere Bedeutung hat (außer zu verwirren).

Ganz intuititv würde ich sagen das 

\( f^n(x)=2a^x \ln^n(a)(1+2^{n-1}a^x) \)

Das einzige, was ich ja ändert ist dieser Faktor vor dem a^x, in der Klammer.

Rechne vielleicht noch lieber die vierte Ableitung aus, um sicher zu sein (hab die Formel nicht näher geprüft, da das nur auf Grundlage der drei Ableitungen die Vermutung ist).

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Vielen Dank für deine Antwort!

Nach der vierten Ableitung wird es (für mich) noch deutlicher.

Wenn ich jetzt \(x_0 = 0\) setze und in mein \(f^n(x_0)\) einsetze komme ich auf folgende Lösung: \(f^n(0) = 2a^xln^na(1+2^{n-1}a^x)\).

Das dann eingesetzt ergibt:

\( \sum_{k=0}^{n} \frac {2a^xln^na(1+2^{n-1}a^x)} {k!}x^k\)

Jetzt weiß ich auch, wieso \( a > 0, a \neq 1\) gilt, da sonst mein \(ln\) nichts brauchbares liefert.   ─   anonym4fb50 07.01.2020 um 09:16
a^x meinst du, oder?
Und gerne. Bei diesen Schemata erkennen sollte man immer Ausschau halten, was sich ändert und was bleibt.

Setzt du, falls alles geklärt ist, noch einen Hacken? Damit jeder weiß, das die Frage erledigt ist.   ─   wirkungsquantum 07.01.2020 um 09:42
Ja, das \(a^x\) habe ich vergessen einzufügen.

Wobei, wenn ich doch als Entwicklungsstelle 0 wähle, dann wird doch aus \(a^x\) 1 und das muss ich doch dann auch in meiner Taylorreihe so einsetzen oder nicht?   ─   anonym4fb50 07.01.2020 um 12:51

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