Umkehrfunktion

Aufrufe: 58     Aktiv: 20.07.2021 um 10:25

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Hallo zusammen, 

wie bildet man die Umkehrfunktion von f(x) = (x - 5)^5 und g(x) = ln(1-x) - ln(x).

Man muss ja bei der Umkehrfunktion x und y vertauschen und dann nach y auflösen. Aber wie gelingt das hier?

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Das gelingt leicht, wenn das x auf der rechten Seite nur einmal vorkommt.
Bei f tut es das. Welche Umformungen hast Du da probiert?
Bei g: Fasse die beiden ln's nach log-Regeln zusammen und löse den Bruch auf. Dann steht das x auch nur einmal da und es geht dann mit der Anwendung der e-Funktion weiter. Probier mal.
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Danke für deine Nachricht.
Bei f wäre es ja eine binomische Formel mit hoch 5 oder?
Wenn ich bei g die log-Regeln anwende, komm ich zu x = ln(1 - y/ y), dann komme ich aber leider nicht weiter.
  ─   thomas123 19.07.2021 um 17:17

Zu f: Wenn Du die Potenz ausmultiplizierst, hast Du verloren. Dann sind mehrere x'e drin. Mach Dir die Operationen klar, die für die Umkehrfunktion umgekehrt werden müssen: (x-5)^5 bedeutet: erst minus 5, danach hoch 5. Wie kehrt man das um?
Zu g: Soweit gut. Dann hatte ich gesagt, lös den Bruch auf. Also?
  ─   mikn 19.07.2021 um 18:11

Dann wäre die Umkehrfunktion f-1(x)= (x)^1/5 + 5 (also die fünfte Wurzel und dann +5) das ist aber dann nur für Werte x > 5 erfüllt. Wie gebe ich das dann mathematisch richtig an und muss ich dann für das andere Intervall (x < 5) auch noch die Umkehrfunktion bilden?

Zu g: mithilfe der e-Funktion komme ich auf e^x = (1 - y)/y und dann auf e^x * y + y = 1 und dann durch Ausklammern von y und teilen durch (e^x + 1) auf
y = 1 / (e^x +a)
  ─   thomas123 19.07.2021 um 19:48

Zu f: Genauso ist es richtig. Und die 5.Wurzel ist auf ganz R definiert (auch wenn manche TR das nicht kennen), also das gilt für alle x. Probier mal ein paar Werte aus. Bei der 4. oder 6. Wurzel ginge das natürlich nicht auf ganz R.
Zu g: Auch genau richtig (Tippfehler am Ende: statt a sollte da 1 stehen.
  ─   mikn 19.07.2021 um 20:59

Alles klar. Vielen Dank für die hilfreichen Tipps!   ─   thomas123 19.07.2021 um 21:17

Ich habe vor ein paar Stunden noch eine Frage zu Nullstellen und Wendestellen gestellt. Wenn Sie Zeit haben würde ich mich freuen, wenn sie sich diese anschauen könnten. Es hat sich leider sonst noch niemand auf meine Frage gemeldet.   ─   thomas123 19.07.2021 um 21:20

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\(y=ln(1-x)-ln(x)\Rightarrow x=ln(1-y)-ln(y)=ln\frac{1-y}{y}\iff e^x=\frac{1-y}{y}\iff y=...\)
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