Nachvollziehen ist deutlich einfach... mit

$$f(x)=xe^{2x}+x^2e^{2x}$$

findest du durch einsetzen direkt heraus, dass 

$$ f(0)=0e^{2\cdot 0}+0^2e^{2 \cdot 0}=0$$

und 

$$f(1)=-1e^{-2}+1e^{-2}=0$$.

Umgedreht, kannst du 

$$f(x)=x(e^{2x}+xe^{2x})$$

schreiben. Die Funktion hat eine Nullstelle genau dann, wenn einer der beiden Faktoren $0$ ist. Die erste Nullstelle lesen wir somit direkt ab und erhalten $x=0$ und die andere erhalten wir als Lösung der Glechung 

$$e^{2x}+xe^{2x}=0,$$

wo wir einfach duch $e^{2x}$ (was niemals $0$ wird) teilen.