Abstand eines Punktes von einer Geraden

Erste Frage Aufrufe: 529     Aktiv: 28.02.2021 um 19:38
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Eine Flugbahn wird durch die Gerade g: (0,2|2|0) + t(1|2|1) modelltiert. 
Der Punkt P(2|3|0,4) beschreibt die Spitze eines Berges (Angaben im km). Ein Flugzeug muss einen Sicherheitsabstand von mind. 1100 m einhalten. Überprüfen Sie, ob dieser Abstand eingehalten wird. 
Eine zu g parallele Flugbahn h hat von P den doppelten Abstand wie g von P. Geben Sie die Gleichung von h an.

Hallo Zusammen

Ich habe den ersten Teil dieser Aufgabe gemacht, also den Abstand von P zur Geraden g gerechnet und kam ungefähr 3,17 km raus. Allerdings weiß ich jetzt nicht, wie ich die Gleichung von h aufstellen muss. Ich weiß, dass die beiden Geraden parallel und verscheiden sind und der Abstand von P zu h ungefähr 6,34 sein muss, aber wie komm ich jetzt mit diesen Angaben auf die Gleichung von h? 

 

Ich würde mich auf eure Hilfe freuen :)

 

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1 Antwort
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Hallo,

wir wissen, dass die beiden Geraden parallel zueinander verlaufen. Was ist somit bei beiden Geraden gleich? Was benötigen wir also noch, um die Geradengleichung aufzustellen?

Nun hast du ja um den Abstand zwischen der Spitze und der Geraden zu bestimmen, einen Punkt auf der Geraden bestimmt, der am nächsten zur Spitze liegt. Dann hast du einen Vektor zwischen diesen beiden Punkten aufgestellt, um den Abstand zu berechnen, oder?

Was könntest du mit diesem Vektor anstellen, damit er auf einen doppelt so weit entferten Punkt zeigt?

Grüße Christian
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Also der Richtungsvektor der beiden Geraden sollte gleich sein.
Und um den Aufpunkt von h zu bestimmen, könnte man den Aufpunkt von g um den doppelten Abstand (6,34) in x3-Richtung verschieben, dann würde die Gleichung so aussehen:
h: x= (0,2|2|6,34) + r (1|2|1)
Stimmt?   ─   hendacc 28.02.2021 um 12:11
Magst du vielleicht einem deinen Rechenweg des ersten Aufgabenteils hochladen? Ich habe dort einen anderen Abstand herausbekommen.
Es ist aber schon mal richtig, dass wir den Richtungsvektor der anderen Geraden nehmen. Nun kannst du aber nicht einfach den Punkt in \(x_3 \) Richtung verschieben, denn die Flugbahn g verläuft nicht direkt oberhalb des Punktes P. Ich packe dir mal eine Grafik in meine Antwort.   ─   christian_strack 28.02.2021 um 12:28
Ich habe meine Rechnung nochmal gemacht und ein anderes Ergebnis rausbekommen, habe auch ein Bild davon hochgeladen.
Sollte ich dann den Vektor PQ mit 2 multiplizieren beim zweiten Aufgabenteil?   ─   hendacc 28.02.2021 um 18:33
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Bei der Bestimmung von Q hast du dich in der \(x_1 \)-Koordinate verrechnet. Du hast anstatt mit \(0{,}7\) mit \( 7 \) gerechnet. Der richtige Vektor wäre also \( \begin{pmatrix} 0{,}9 \\ 3{,}4 \\ 0{,}7 \end{pmatrix} \). Damit verändert sich \( d \) auch nochmal etwas, aber das Vorgehen ist richtig. :)
Auch die Reihenfolge von \( \vec{PQ} \) stimmt, das ist hier auch sehr wichtig. Genau und jetzt verdoppelst du diesen Richtungsvektor und guckst wo du von \( P \) aus raus kommst.
Dieser Punkt ist dann dein Aufpunkt.
Ich gucke gerne nochmal drüber wenn du fertig bist.   ─   christian_strack 28.02.2021 um 18:41
Ich hab die neue Lösung hochgeladen. Soll jetzt Q mein Aufpunkt sein?😅   ─   hendacc 28.02.2021 um 19:07
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Jap das sieht alles wunderbar aus. Genau dass ist dein Aufpunkt und den Richtungsvektor hast du ja schon hingeschrieben, :)   ─   christian_strack 28.02.2021 um 19:25
Okay, alles klar. Vielen Dank für die Hilfe!😊   ─   hendacc 28.02.2021 um 19:32
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Sehr gerne :)   ─   christian_strack 28.02.2021 um 19:38

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