Es ist üblich und vor allem bequem, stets im Kopf zu haben, dass $|\sin x|\le 1$ und $|\cos x|\le 1$ gilt und bei Abschätzungen benutzt wird, denn das gilt für alle $x$ und man muss gar nicht überlegen in welchem Intervall man ist. Das wurde auch in der grünen Lösung gemacht. Es wurde hier nicht $\vartheta=1$ gesetzt.
Deine Abschätzung ist aber auch richtig, aber dazu muss man sich die sinus-Kurve anschauen und das Intervall berücksichtigen, was also aufwendiger ist. Aber dafür eine genauere Abschätzung liefert (kleinere Fehlerschranke).