Stellst du dir die komplexe Zahlenebene vor, so gibt die Polardarstellung einer komplexen Zahl den Winkel und die Länge eines Vektors an. An der Stelle, an der sich die Pfeilspitze befindet, befindet sich dann die komplexe Zahl. Ausgehend von dem Vektor \(\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}\), sprich \(1+0i\) erreicht man z.B. \(i=1\cdot e^{i \pi /2} = e^{i\cdot 90°}\), indem man den Pfeil um 90° gegen den Uhrzeigersinn dreht. Genauso gut könnte ich ihn aber auch \(90° + 360° = 450°\) drehen. Ich lande an der gleichen Stelle. Wie oft ich noch einmal den "Kreis" vollständig umrunde ist egal.
Also gilt \(90° \equiv 450° \;\;(\!\!\!\mod 360°) \Longleftrightarrow \dfrac{\pi}{2} \equiv \dfrac{5\pi}{2} \;\;(\!\!\!\mod 2\pi)\).

Hast du nun eine Gleichung \(z^n = a\), so existieren für \(a\in \mathbb{C}^*\) stets \(n\) verschiedene Lösungen. Ferner noch teilen sie deinen "Kreis" in \(n\)-gleichgroße Teile auf, d.h. zwischen den komplexen Wurzeln ist der Winkel gleich groß.
Mit jedem größerwerdenden \(k\) wanderst du von einer Lösung in der Ebene zur nächsten (gegen den Uhrzeigersinn) (eigentlich immer um 360°, aber die Division durch \(n\) "bremst" die Umdrehung aus). Für \(k=n\) wärst du wieder bei der Lösung \(k=0\), daher hat man hier aufgrund der Modularität nur \(n\) Lösungen.

Bsp: \(z^3 = 1\), d.h. ich habe genau drei komplexe Zahlen, die, wenn ich sie hoch drei nehme, wieder eins ergeben.

Die Lösungen sind \(z_{1,2,3} = e^{i \, \frac{2k \pi}{n}}\) mit \(k\in \{0,1,2\}\). 
Mit \(z_1=e^{i \cdot 0}=e^0=1\) habe ich die erste Lösung. Nun muss ich 360° / n = 360° / 3 = 120° weiter gehen. 
Das wäre also \(e^{i \cdot 120°} = e^{i\cdot \frac{2\pi}{3}} = e^{i\cdot \frac{2\cdot 1 \, \pi}{3}}\).
Die letzte Lösung ist dann bei 240°. 
Mit \(k=n=3\) wäre dass dann 360°, was wieder 0° entspricht.

(Eine Besonderheit der Einheitswurzeln ist natürlich, dass \(\left(e^{i \,2k\, \pi }\right)^{1/n} = \left(e^{0}\right)^{1/n} = 1^{1/n} = 1 \) gilt).