Stetige Differenzierbarkeit, Lösung

Aufrufe: 1080     Aktiv: 26.03.2020 um 17:08

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Hallo Leute, 

Ich verstehe das Gelb markierte der Lösung nicht. Was ist dieses Teil "w", welches wie der  Buchstabe "w" aussieht? Und woher kommt das "w=kπ+π/4" und das andere ganze Zeug...  Könnte mir das jemand erklären?? 

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Student, Punkte: 370

 
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Hi.
Also der Buchstabe \( \omega \) heißt Omega.

Eine Funktion ist stetig diff'bar, falls die Ableitung überall existiert und diese stetig ist. Die Funktion \( f\) ist auch offensichtlich auf \( [0,2] \setminus \left\{ 1 \right\} \) stetig diff'bar.
Das heißt man muss nur den Punkt \( x_0 =1 \) überprüfen.

Dazu muss zunächst \( f \) bei \( x_0 =1 \) stetig seien. Man überprüft dazu, dass der rechtsseitige Grenzwert dem linksseitigen Grenzwert entspricht, daher kommt die Gleichung \( A \sin (\omega ) =1 \) .

Dann muss man noch prüfen, dass die Ableitung stetig ist. Dh. man leitet \(f \) einmal auf \( [0,1] \) und auf \( [1,2] \) ab, und überprüft, dass diese an der Stelle \( x_0 =1 \) übereinstimmen, daher die zweite Gleichung \( \omega A \cos (\omega ) = \omega \)

Und jetzt löst man diese Gleichungssystem.

Ich hoffe das hilft dir weiter.

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Und wie löst man das Gleichungssystem??   ─   kamil 25.03.2020 um 18:12

Teilt man die erste Gleichung durch die zweite, erhält man \(\tan(\omega)=1\), was genau bei \(\frac\pi4,\frac{5\pi}4,...\) also bei \(\frac\pi 4+k\pi\) passiert.
Nun soll \(\omega\in[0,2]\) sein. Damit muss \(k=0\) gelten, denn für \(k=\pm1\) ist man bereits außerhalb dieses Intervalls.
Nun setzen wir \(\omega=\frac\pi4\) in die erste Gleichung ein. Es ist \(\sin\frac\pi4=\frac1{\sqrt2}\), darüber ergibt sich \(A=\sqrt2\).
  ─   sterecht 25.03.2020 um 18:17

Ich teile \((Asin(w)=1)/(wAcos(w)=w)\). Wie komme ich denn da auf tan(w)=1 ?   ─   kamil 25.03.2020 um 18:37

Na ja, du hast \(\frac{A\sin(\omega)}{\omega A\cos(\omega)}=\frac1\omega.\) Das \(A\) und das \(\frac1\omega\) kürzen sich jeweils weg, sodass \(1=\frac{\sin\omega}{\cos\omega}=\tan\omega\) stehen bleibt.   ─   sterecht 25.03.2020 um 19:10

Oben habe ich ein "A" und unten, das verstehe ich. Aber wieso 1/w kürzen? Ich habe es doch nur auf der rechten Seite ..Meinst du vielleicht "auf beiden Seiten mit "w" erweitern, dann geht das auf?   ─   kamil 25.03.2020 um 19:39

Ja, das war vielleicht unklar ausgedrückt. Auf jeden Fall kommst du so auf \(\tan\omega=1.\)   ─   sterecht 25.03.2020 um 20:18

Ja ok. In meiner Tabelle steht auch, dass der Tan(¶/4)=1 ist. Aber von wo weißt man, dass 5pi\4 auch 1 ist usw. ? Und wie kommt man darauf, dass man die Gleichungen teilen soll, ich wäre ja da drauf nie gekommen   ─   kamil 25.03.2020 um 20:24

Der Tangens hat eine Periode von \(\pi\), deshalb müssen \(\frac{5\pi}4\) etc. auch die Gleichung erfüllen. Man muss die Gleichungen nicht durcheinander teilen. Du kannst auch z.B. eine der Gleichungen nach \(A\) auflösen und das dann in die andere einsetzen. Teilen ist bloß der schnellste Weg, sowas sieht man mit viel Übung.   ─   sterecht 25.03.2020 um 20:33

Und ist denn \(cos/sin\) auch tan?   ─   kamil 25.03.2020 um 20:46

Für A hätte ich dann \(1=A*sqrt(2)/2\) <=> \(2=A*sqrt(2)\) <=> \(A=2/sqrt(2)\) Und was ist das in der Lösung, von wo das \((-1)^k\)?   ─   kamil 25.03.2020 um 20:54

\(\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x\), der sog. Cotangens. Aber wenn \(\frac{\cos \omega}{\sin\omega}=1\), dann ist auch \(\frac{\sin\omega}{\cos \omega}=1.\)

\(\frac2{\sqrt2}=\frac2{\sqrt2}\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{2\sqrt2}2=\sqrt2\), also bekommst du auch das richtige \(A\) raus.

Das \((-1)^k\) kommt daher, dass die Lösung nicht zuerst (so wie ich in meiner Antwort) \(\omega\) durch das Intervall bestimmt hat. Und \(\sin(\frac\pi4+k\pi)=-\frac{\sqrt2}2\), falls \(k\) ungerade.
  ─   sterecht 25.03.2020 um 20:59

Also ist beides 1, tan und cot x, für x= pi/4.
Und was ist das Asin(ω) = 1 ⇒ A(−1)k/√2 = 1 ⇒ A = (−1)k√2 ?
Was ist nach dem ersten Pfeil passietr?
  ─   kamil 25.03.2020 um 21:37

Wenn \(\omega=\frac\pi4+k\pi,\) dann ist \(\sin\omega=(-1)^k\cdot\frac1{\sqrt2}\). Für \(\frac\pi4\) kennst du den Wert ja, und jedes Mal, wenn man \(\pi\), also eine halbe Periode, addiert, ändert sich das Vorzeichen. Für ungerade \(k\) ist der Sinus also negativ, für gerade positiv. Daher das \((-1)^k\).
Das kannst du dir aber eigentlich sparen, wenn du zuerst überlegst, welches \(\omega\) das richtige ist.
  ─   sterecht 25.03.2020 um 21:41

Ich verstehe das erste nicht, muss ich es? Omega ist ja gegeben. Und wenn ich Sinus von Omega bilde, habe ich sin(pi/4+k*pi). Für pi/4 kenne ich den Wert in der Tat. Das ist dann sin(2/sqrt(2)+k*pi).   ─   kamil 25.03.2020 um 22:00

Wenn k ungerade ist, dann ist \(\sin\omega=-\frac{\sqrt2}2\), wenn k gerade ist, dann \(\sin\omega=\frac{\sqrt2}2.\) Das ergibt sich aus der Periodizität des Sinus. (Das habe ich oben zu erklären versucht.)   ─   sterecht 25.03.2020 um 22:17

Das verstehe ich. Die -1 ist klar. Aber wieso das *1/sqrt(2) ?   ─   kamil 25.03.2020 um 22:42

\(\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2\) (Erweitern mit \(\sqrt2\)). Das ist der Wert von \(\sin\frac\pi4\).   ─   sterecht 25.03.2020 um 22:52

Asoo… und wieso schreibt man nicht gleich (-1)^k*sqrt(2)/2.. das mit dem Erweitern verwirrt nur.
Und wie kommt man auf das letzte => A = (−1)k√2 ? A ist doch Wurzel aus 2.. D:
  ─   kamil 25.03.2020 um 23:20

Vielleicht fand der, der die Lösung erstellt hat, dass \(\frac1{\sqrt2}\) die schönere Form ist, also dass man es gar nicht umwandeln sollte.

Die Lösung findet den Wert für A, bevor sie überlegt was k sein muss. Deshalb taucht das k noch im Term für A auf, verschwindet dann aber im nächsten Schritt.
  ─   sterecht 26.03.2020 um 00:19

Klarer !
Danke für die Mühe Bro !
  ─   kamil 26.03.2020 um 17:08

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