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Ich würde als Argumentation das \(\epsilon\)-\(\delta\)-Kriterium verwenden.
Bei (a) kannst du deine \(\epsilon\)-\(\delta\)-Umgebung um einen Punkt \(x_0\in \mathbb{Q}\) so wählen, dass du keine \(x\in \mathbb{Q}\) mehr finden kannst, so dass \(|x-x_0|<\delta\) bzw. \(|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\) erfüllt sind. Du kannst die Aussage des \(\epsilon\)-\(\delta\)-Kriterium ja einmal negieren und ein \(\varepsilon\) so wählen, dass für alle \(\delta\) die Funktion nicht stetig ist.
Bei (b) sollst du ja auch nur die Stetigkeit in \(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) zeigen. Dann findest du mit entsprechender Definition zu einem \(x_0\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\)immer ein \(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\), so dass \(f(x)\) stetig ist. Für alle \(x\in \mathbb{R}\) wäre f(x) nicht stetig, mit ähnlicher Argumentation wie in (a)
Schreibe die Definitionen einfach einmal auf und mach dir vllt mal eine Skizze zu den gegeben Funktion und zeichne dir für (a) und (b) mal deine \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Umgebungen ein.
Hoffe das hilft weiter.
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Sei \(\varepsilon>0\) gegeben. Dann gibt es für alle \(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) ein \(\delta>0\), so dass für \(x_0\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) und \(|x-x_0|<\delta\) mit \(\delta= ...\)? folgt:
\(|f(x)-f(x_0)|=|0-0|=|0|=|x-x+x_0-x_0|=|x-x_0+x_0-x|\leq |x-x_0|+|x_0-x|< .... +. .... =\varepsilon\)
Wie muss also nun das \(\delta\) gewählt werden, damit deine Abschätzung aufgeht?
Zu (a) negiere doch mal das \(\varepsilon-\delta\)-Kriterium. ─ maqu 31.12.2020 um 17:13
wäre hilfreich wenn man so ein beweis mal vor Augen hätte
bei den restlichen Teilaufgaben weiß ich leider auch nicht weiter hättest du da vielleicht noch einen Tipp oder jemand anderes? ─ mrbrownbear 31.12.2020 um 16:35