E hoch ln mit bruch

Aufrufe: 817     Aktiv: 19.05.2021 um 13:44

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Ich soll diese Differenzialgleichung lösen welche ich in einen rechner gepackt habe und soweit verstehe ich auch alle Schritte nur ab Schritt 10. verstehe ich nicht wie aus \(\frac {ln(u-1)}{4}\)  \(\frac {1} {\sqrt[4]{u-1}}\) wird.

Ich verstehe das e^ln(a)=a ist da sich e und ln aufheben deswegen ist ja auch e^ln(x)=x.

Ich habe in meiner Rechnung vergessen das zurückführen nach y mit einzubauen weswegen zwischen Schritt 11. und 12. noch fehlt aus \(\frac {1} {\sqrt[4]{u-1}}\) \(\frac {1} {\sqrt[4]{y/x-1}}\) zu machen.
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Moin f.see.                                                                                                  

Wenn du \(e^{-\frac{\ln(u-1)}{4}}\) hast, kannst du mit Potenzgesetzen umformen (du hast das minus oben vergessen):
\(e^{-\frac{\ln(u-1)}{4}}=\left(e^{-\ln(u-1)}\right)^{\frac{1}{4}}\), denn allgemein gilt: \(x^{a\cdot b}=\left(x^a\right)^b\).
Nun "heben sich das e und der ln gegenseitig weg" und du kommst auf:
\(\left(\dfrac{1}{u-1}\right)^{\frac{1}{4}}\) und das lässt sich jetzt natürlich noch als Wurzel umschreiben.

Klärt das deine Frage?

Grüße
Hendrik
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Ist das - der Grund warum man auf (1/u−1)^1/4 kommt? Denn wenn sich das e un ln aufheben kommt man doch bei -(u-1)^1/4 raus so wie bei der Antwort von Christian_strack
  ─   f.see 19.05.2021 um 12:49

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Ah ich habe das Minus vor dem ln übersehen. Ich korrigiere meine Antwort   ─   christian_strack 19.05.2021 um 12:50

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Wir können entweder im Exponenten jeden Vorfaktor als Potenz setzen oder jeden Vorfaktor vor dem Logarithmus als Exponent des Argumetes setzen. Auch eine \( -1\) oder ein Bruch wie \( \frac 14 \). Die \( -1\) erzeugt den Kehrwert und der Bruch erzeugt die vierte Wurzel.   ─   christian_strack 19.05.2021 um 12:52

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Und bei \(e^{-\ln(\ldots)} \) kannst du \( e \) und \( \ln \) nicht miteinander "verrechnen", weil eben das Minus noch "dazwischen" steht.   ─   christian_strack 19.05.2021 um 12:54

Ja genau, durch das - bekommst du da den Bruch rein: \(e^{-\ln(x)}=e^{\ln\left(x^{-1}\right)}=e^{\ln\left(\frac{1}{x}\right)}=\dfrac{1}{x}\).
Das - hast du wie gesagt in deiner Frage nicht mit drinnen, aber im Schritt 10 steht es dabei.
  ─   1+2=3 19.05.2021 um 12:55

Super danke jetzt hab auch ich es begriffen :D hänge jetzt aber beim umrechnen fest wie ich von \(\frac {1} {\sqrt[4]{y/x-1}}\)=c*x auf y=x+ \(\frac {C}{x^3}\) komme.   ─   f.see 19.05.2021 um 13:28

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Erst Kehrwert auf beiden Seiten bilden und dann alles in die 4te Potenz erheben. Dann nur noch nach \(y \) umstellen.   ─   christian_strack 19.05.2021 um 13:44

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Hallo,

es gilt

$$ -\frac {\ln(u-1)} 4 = -\frac 1 4 \ln(u-1) = \ln((u-1)^{-\frac 1 4}) = \ln(\sqrt[4]{u-1}^{-1}) = \ln(\frac 1 {\sqrt[4]{u-1}})$$

Wenn wir das jetzt in die Potenz von \( e \) heben, erhalten wir nur \( \frac 1 {\sqrt[4]{u-1}} \).

Grüße Christian
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