Vollständige Induktion (again)

Aufrufe: 69     Aktiv: 09.10.2021 um 20:36

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Hallo! :-)

Ich bin gerade bei dieser Aufgabe dran (ja, es muss induktiv bewiesen werden): 



Da ich beim Induktionsschritt wahnsinnige Probleme hatte, habe ich eben Dr. Google gefragt und bin auf diese Lösung hier gestoßen:

https://www.mathelounge.de/21962/beweisen-sie-die-produktformel-fur-und-1-1-x-1-x-2-1-x-2-n-1-x-2-n-1-1


Allerdings verstehe ich hier bei dieser angegeben Lösung nicht ganz warum beim Induktionsschritt, also gleich die erste Zeile,  mit dem Faktor (1+x2^ (n+1)) multipliziert wird?

Kann mir hier vielleicht jemand weiterhelfen? Wäre wirklich dankbar. :-)







EDIT vom 09.10.2021 um 20:27:

Ich hätte noch eine Frage bezüglich dieser Lösung von diesem Link da oben: 

Und zwar geht es hier um den folgenden Absatz: 

.....

= (1- x2^{n+1})/(1-x) * (1+x2^ (n+1))

|auf einen Bruchstrich bringen

= ((1- x^ (2n+1)) * (1+x^ (2^ (n+1)))) / (1-x)

Ich verstehe hier nicht ganz warum der rot markierte Teil plötzlich vom Nenner im Zähler auftaucht? Kann mir vielleicht jemand kurz erklären warum das so ist. Bitte und Danke! :-)

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Punkte: 45

 

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Zum Edit: $\frac{a}{b}\cdot c=\frac{a\cdot c}{b}$   ─   cauchy 09.10.2021 um 20:29

Oh, wie peinlich, das sollte man eigentlich kennen...

Vieeeeeelen Dank, jetzt hast Du mir aber wirklich genug den
Hintern gerettet. ;-)
  ─   user7dde99 09.10.2021 um 20:36
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Das ist der $(n+1)$-te Faktor, der abgespalten wird und, um die Induktionsvoraussetzung anwenden.
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Selbstständig, Punkte: 12.77K

 

Asoooo, wenn ich es richtig verstanden habe, dann ist es einfach wie üblich, wo man die Induktionsvoraussetzung / Hypothese um (n+1) erweitert, richtig?

Dann ist es ja klar, vielen Dank! ;-)
  ─   user7dde99 08.10.2021 um 23:54

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Es ist die Ind.Beh. zu zeigen, also die Aussage für n+1. Man fängt (wie immer) mit der komplizierteren Seite der Beh. an, also die linke Seite. Dann will man die Ind. Vor. einbringen, wozu man das Produkt bis k=n braucht (linke Seite der Ind. Vor.). Bleibt der Faktor für k=n+1 übrig.
Das ist Standard-Vorgehen bei der Induktion. Wenn Du damit Probleme hast, solltest Du die Induktion erstmal an einfacheren Beispielen üben. Dieses hier ist für Anfänger unübersichtlich wg der Potenzen.
Als Induktion ist das eine einfache, weil das Standard-Vorgehen in 2-3 Zeilen zum Ziel führt. Wenn man Induktion verstanden hat. Dann geht es auch ohne googlen.
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Lehrer/Professor, Punkte: 16.83K

 

Asooo, ich danke Dir für die ausführliche Beschreibung, jetzt ist es mir klar! ;-)

  ─   user7dde99 09.10.2021 um 00:00

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