Es gibt durchaus Aufgabenstellung wo du die Beschränktheit beweisen musst.

Zum Beispiel genügt bei einer reellen Folge Monotonie und Beschränktheit für die Konvergenz! Es kann also sehr nützlich sein um die Konvergenz einer Folge, welche du in der Mathematik in allen Bereichen finden wirst von Stochastik, über Numerik, bis Funktionentheorie, die Beschränktheit einer Folge zu kennen.

Diese ist oft leicht zu zeigen (wenn vorliegend), indem man zeigt, dass eine reelle Schranke für die Beträge aller Folgenglieder existiert. Wobei diese ja beliebig groß sein darf, solange für ein fester Wert festgelegt wird. (Deine Beispielfolge wäre ja auch durch 100000 beschränkt ;) es ist in der Regel nicht so schwer, oft sind Monotonie oder im Falle der nicht-Beschränktheit die anderen Kriterien für die Konvergenz schwieriger.)

Also wenn du dich fragst wie man Beschränktheit "wirklich beweist", dann so: du hast wahrscheinlich schon eine Ahnung von einer Möglichen Schranke und ziehst den Betrag der Folgeglieder von dieser ab. Und versuchst zu zeigen, dass dieser Ausdruck dann immer größergleich null ist. In dem Fall wächst der Betrag nicht über die Schränke und du bist fertig.

Wenn du Mathematik studierst (ich weiß ja nicht was du studierst) wird dir die Beschränktheit aber auch in anderen Zusammenhängen als für die Konvergenz von Folgen begegnen! 

Ich hoffe ich konnte dir helfen, falls nicht frag gern nach! Liebe weihnachtliche Grüße, Jojoliese