Extrempunkt bestimmen

Aufrufe: 572     Aktiv: 30.04.2021 um 14:07
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ich bin mir sehr unsicher was meine Lösung angeht kann jemand mal nachrechnen ich wäre sehr dankbar da ich es anders nicht verstehe

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Wenn ich den Funktionterm bei wolframapha eingebe, dann sehe ich an der Stelle P(-1, 2) kein Maximum, sondern nur eine Wendestelle.
https://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28x%2Cy%29+%3D+sqrt%28+x%5E2+-+y%5E2+%2B2x+%2B+4y++%29
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Ich habe den Fehler noch nicht gefunden aber da muss einer sein.
Schau dir den Funktionsgraph an, den ich dir bei Wolframalpha geschickt habe und schaue genau, was der Graph bei x=-1 und y=2 macht. Das ist ein Sattelpunkt. Alle partiellen Ableitungen sind 0 aber es gibt keinen Extrempunkt.
Die ersten Ableitungen \(f_x\) und \( f_y \) habe ich schon überprüft. Die sind ok. Sattelpunkte haben ja auch die Eigenschaft, dass die Jakobimatrix verschwindet \( J_f = 0 \) . Das du diese Werte findest ist also gut.
Irgendwas stimmt aber mit deiner Hessematrix nicht.   ─   cunni 30.04.2021 um 00:06
Moment mal, du schaust ja gar nicht, ob die Matrix positiv definit ist oder?
Du hast herausgefunden, dass an der Stelle P(-1,2) entweder ein Hochpunkt, ein Tiefpunkt oder ein Sattelpunkt ist. Jetzt musst du angeben was von diesen dreien.

Dabei kann dir folgende Regel helfen
\( H_f \) ist positiv definit, so ist es ein Tiefpunkt.
\( H_f \) ist negativ definit, so ist es ein Hochpunkt.
\( H_f \) ist indefinit, so ist es ein Sattelpunkt.

Positiv definit bedeutet alle Eigenwerte sind größer als 0. Negativ definit bedeutet alle sind kleiner als 0. Indefinit bedeutet es gibt sowohl positive als auch negative Eigenwerte.

Bitte berechne mal die Eigenwerte der Hessematrix an der kritischen Stelle.   ─   cunni 30.04.2021 um 00:16
Über das charakteristische Polynom \( P(\lambda) = \text{det}( H_f(-1,2) - 1_{Matrix} \cdot \lambda ) :=0 \). Die Eigenwerte sind da, wo das charakterischtische Polynom 0 wird.
Ich habe deine Hassematrix, die du da auf dem Zettel mal aufgeschrieben hast, in einen Rechner eingegeben und komme auf einen positiven Eigenwert
\( \lambda_1 = \frac{ 2\sqrt{ 13465 } - 251 }{2} \) und einen negativen \( \lambda_2 = \frac{ - 2\sqrt{ 13465 } - 251 }{2} \). Die Matrix ist damit indefinit. Somit ist die kritische Stelle ein Sattelpunkt.

Die Hessematrix selbst habe ich aber noch nicht überprüft. Das mache ich jetzt.   ─   cunni 30.04.2021 um 00:28

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Deine Hessematrix schein abzuweichen. Es sieht ganz so aus als hättest du die Quotientenregel für \( f_{xx} \) und \( f_{yy}\) nicht korrekt angewendet. Der Wert für \( f_{xy} \) ist aber ok.
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Ja, korrigiere lieber zuerst deine Hessematrix. Ich habe dir die Lösung mit diesem Bild ja schon geschickt. \(f_x, f_y, f_{xy}\) sind korrekt. Aber \( f_{xx} \) und \(f_yy\) sind es nicht.
Danach setze in die Hessematrix die Werte x=-1 und y=2 ein. Von dieser Matrix musst du dann die Eigenwerte berechnen.
Es gibt viele Seiten, die dir das erklären, wie man die Eigenwerte berechnet. Da musst du mal schauen. Ich will mit aber langsam bettfertig machen. Rechne vielleicht gleich noch die Eigenwerte mit einem Tool aus, dann kannst du vergleichen.
   ─   cunni 30.04.2021 um 00:46
Was im Bild ist, ist jedenfalls richtig. Als Tutor würde mich das aber nicht überzeugen. Der zieht dir dann bestimmt den einen oder anderen Punkt ab, wenn du wolframalpha benutzt.
Ist aber dein Bier. Ich habe es nur geschickt zum vergleichen.   ─   cunni 30.04.2021 um 00:48
Du sollst nicht det(Hf) berechnen. Sondern die Eigenwerte berechnen.
Diese sind da, wo \( P(\lambda) = \text{det}( H_f - \lambda \cdot 1_\text{Matrix} ) =0 \)

Ich habe hier ein Video mit einem Beispiel (der erklärt auch Eigenvektoren aber die brauchst du nicht)
https://www.youtube.com/watch?v=Rr0aa7oo5u8

Oder auf dieser Seite
https://www.mathebibel.de/eigenwerte-berechnen

   ─   cunni 30.04.2021 um 00:55

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