Mit Ableitung für einen Wert zeigen das etwas gelte

Aufrufe: 748     Aktiv: 17.05.2020 um 09:54

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Kann mir jemand bitte bei der Aufgabe helfen, ich verstehe nicht was man hier machen muss. Einfach für n=0 einsetzen oder muss man hier aufleiten? Und weiter? Danke im voraus

löse für \( n(0)=n0 \)

\(\frac {dn} {dx}=\frac {\lambda n^2} {(x+a) (x+2a)}\) mit \( \lambda \epsilon R \)

 

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Ne das eine Differentialgleichung die kannst du durch separieren der Variablen lösen und dann bekommst du eine konstante durchs integrieren und dann muss sie deine startwerbedingung erfüllen 

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Danke für die Antwort, Aber an sich, da steht ja momentan auf der linken Seite die Ableitung also n(x)' oder? Würde es nicht auch gehen wenn man die rechte Seite aufleitet, denn dann würde man ja n(x) erhalten und man könnte die 0 für x einsetzen?   ─   su 13.05.2020 um 20:59

Du kannst die rechte Seite nicht "aufleiten", solange dort die Funktion n vorkommt.   ─   digamma 13.05.2020 um 21:12

Ahh stimmt wer nennt denn bitte eine funktion n dann muss er noch durch n teilen solange er davon ausgehen kann dass die postiv ist   ─   taylorexpansion 13.05.2020 um 21:15

Gehe ich da richtig vor, wenn ich das n^2 von der rechten Seite nach links bringe damit dort dn/n^2 steht und das dx dann nach rechts bringe? Und dann die Integrale ziehe etc? Also damit da rechts steht: lambda/((x+a)(x+2a))*dx ?   ─   su 15.05.2020 um 15:22

Ja, genau.   ─   digamma 15.05.2020 um 15:23

Ok, danke. Ich verstehe nur nicht, wie ziehe ich das Integral auf der rechten Seite am besten? Mich verwirren die Variablen da etwas.
Links bekomme ich für das c=1/n schon Mal raus. Was mache ich damit weiter?
  ─   su 15.05.2020 um 15:48

Partialbruchzerlegung. Kannst du damit etwas anfangen?   ─   digamma 15.05.2020 um 15:50

Ja, würden die Partialbrüche dann so aussehen? lambda/(x+a)+lambda/(x+2a) oder A/(x+a)+B/(x+2a)?
Könnte man denn nicht direkt integrieren, also einfach lambda*ln|x+a|+lambda*ln|x+2a|+C?
  ─   su 15.05.2020 um 16:13

Solange da ein Produkt im Nenner steht, kannst du nicht integrieren. Du brauchst schon die Parialbruchzerlegung. Der Zähler ist nicht einfach `lambda`, sondern du musst schon den Ansatz mit A und B machen.   ─   digamma 15.05.2020 um 17:32

Wenn ich aber den rechten Bruch auseinander ziehe, sodass da dann lambda/(x+a) + lambda/(x+2a) steht, dann ist doch kein Produkt mehr im Nenner und man könnte es doch einfach integrieren zu lambda*ln|x+a|+lambda*ln|x+2a|+C. Oder habe ich irgendwo einen Denkfehler? Danke.   ─   su 15.05.2020 um 19:59

`lambda/(x+a) + lambda/(x+2a)` ist nicht dasselbe wie `lambda/((x+a)(x+2a))`. Deshalb brauchst du den Ansatz mit A und B um die richtigen Zähler rauszufinden.   ─   digamma 15.05.2020 um 20:20

Ich habe bei der Partialbruchzerlegung für A= 1/a heraus und für B= -1. Demnach wäre das Ergebnis der Partialbruchzerlegung (1/a)/(x+a) - 1/(x+2a).
Wenn man nun das Integral nimmt wäre die Lösung: lambda*1/a ln |x+a| - lambda ln |x+2a|
Ist das so richtig? Danke.
  ─   su 17.05.2020 um 01:42

Ich denke, dass B = -1/a sein müsste, sonst fällt das x nicht weg. Ansonsten sieht es gut aus. Man kann die beiden Terme dann noch mit dem Logarithmengesetz zusammenfassen zu `lambda/a * ln((x+a)/(x+2a))`.   ─   digamma 17.05.2020 um 09:54

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das ist genau was seperieren der variablen ist du integreierst die rechte seite über x und dann bekommst du eine konstante c  und die funktion muss jetzt erfüllen dasss n(0)=n_0

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Gehe ich da richtig vor, wenn ich das n^2 von der rechten Seite nach links bringe damit dort dn/n^2 steht und dx dann nach rechts bringe? Und dann die Integrale ziehe etc?   ─   su 15.05.2020 um 15:18

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