Körper / Gruppe / Ringe

Aufrufe: 77     Aktiv: 06.04.2021 um 14:18

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Aufgabe: 

 

Definition: 

 

Problem:

Hallo!

Kann mir jemand vielleicht weiterhelfen (again)? 

Ich muss hier ja beweisen, dass falls 0 = 1 gilt, dann wäre K = {0}. Durch Recherchieren im Internet habe ich bloß herausgefunden, dass für ein

Körper, welches bloß 1 Element enthält, 0 = 1 gelten muss. 

 

Mein Ansatz würde wie folgt lauten (ich habe es theoretisch bewiesen): 

Es sind die neutralen Elemente 0 und 1 gegeben. 

Wenn K = {0} gelten würde, dann hätten wir nur das Element 0 zur Verfügung somit wäre das neutrale Element gleich 0.

Der Körper enthält in diesem Fall das Element 1 nicht und somit würde dann gelten 0 = 1. 

 

Frage:

Ist das überhaupt ein glaubhafter Beweis oder eher ein kompletter Schwachsinn? 🤔

 

 

 

 

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gefragt

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1 Antwort
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Ich weiß jetzt nicht, wie bei euch ein Körper eingeführt wurde, aber prinzipiell ist die Aussage falsch: Wenn ein Körper \((K,+,\cdot)\) nur aus einem Element besteht, also \(K=\{0\}\), so bildet zwar \((K,+)\) eine Gruppe mit neutralem Element \(0\), die sogenannte triviale Gruppe, aber \((K \setminus \{0\},\cdot)\) bildet keine Gruppe, da \(K \setminus \{0\}=\emptyset \) und somit kein neutrales Element existiert. Daher wäre vielleicht hilfreich,  wenn du eure Definition eines Körpers kurz darlegst.
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geantwortet

Student, Punkte: 2.61K
 

Oh, das bist ja Du wieder, der mir letztes Mal schon eine helfende Hand reichen musste. 😂

Ich habe Dir die Definition in die Frage als Bild hineingestellt, wusste nicht
wie ich es im Kommentar einfügen kann.

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Heißt das eigentlich im Grunde, dass ich hier auch keinen Beweis machen muss, denn
K = {0} kann ja nicht für {K \ {0}, *} gelten, oder? 🤔
  ─   thepeasant 05.04.2021 um 21:06

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Bei Deiner Def. ist NICHT gefordert, dass (K\{0},*) eine Gruppe ist. Daher ist die zu zeigende Aussage nicht-trivial (nebenbei: Deine Def. ist das, was ich auch gelernt habe): Dein Beweis funktioniert aber nicht, denn Zu zeigen ist: \(0=1\Longrightarrow K=\{0\}\). Du willst es umgekehrt zeigen (schau nochmal die Regeln der Aussagenlogik nach).   ─   mikn 05.04.2021 um 22:10

Das heißt ich muss diese Aussage umformen 0 = 1 ⟹ K={0} mittels den Aussagenregeln? 🤔

Würde ein theoretischer Beweis hier nicht auch ausreichen? Was ist wenn ich es so hinschreibe?

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Es sind die neutralen Elemente 0 und 1 gegeben.
Wenn 0 = 1 gelten würde, dann würde (K, +) eine Gruppe mit dem neutralem Element 0 bilden, also
K = {0} und wird hätten hier eine triviale Gruppe.
Da laut der Definition nicht gefordert ist, dass (K \ {0}, *} eine Gruppe bildet und K\{0} = ∅, existiert
somit kein neutrales Element hier.
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Die Aussage, dass 0 = 1 ⟹ K = {0} ist FALSCH.
  ─   thepeasant 06.04.2021 um 08:22

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Du musst hier zeigen, dass wenn \(0=1\) gilt, in \(K\) kein weiteres Element \(a\not =0\) ist. Das geht beispielsweise über einen Widerspruchsbeweis: Nimm an, dass \(a \in K\) und \(a\not = 0\). Jetzt musst du hier den Widerspruch \(a=0\) erzeugen. Kommst du jetzt weiter?   ─   mathejean 06.04.2021 um 09:42

Ahh, jetzt habe ich langsam den Durchblick. 👀

Das heißt ich mache dann folgendes:

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Wenn a = 0 wäre, dann hätten wir hier somit einen Widerspruch, denn für K gilt:
Das Element a muss ungleich Null sein.
Wäre a = 1, welches davor mit 0 festgelegt wurde (a = 0 = 1), dann würde die gesamte Aussage wiederum gelten,
denn a != 0. Also können wir daraus folgen, dass in diesem Fall 0 = 1 sein muss, damit K = {0} gelten kann. □
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Ich bin mir nicht sicher, ob ich das richtig formuliert bzw. umgesetzt habe?
  ─   thepeasant 06.04.2021 um 10:51

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Nicht ganz, es könnte ja auch, sein, dass \(a\) nicht 0 und nicht 1 ist. Ich würde das ganze vielleicht so formulieren: Sei \(a \in K\) und \(a \not = 0\), dann gilt \(1=0 \Leftrightarrow 1 \cdot a = 0 \cdot a \Leftrightarrow a = 0\).   ─   mathejean 06.04.2021 um 10:55

Ich glaube jetzt weiß ich wie der Hase läuft.
Vielen vielen Dank, Du hast mir wirklich sehr geholfen!! :-) 👍
  ─   thepeasant 06.04.2021 um 11:17

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