Die Idee mit der Drehmatrix ist gut, man muss aber nicht unbedingt eine Matrix aufstellen.

Die gewünschte Drehung entspricht einem Homomorphismus, ich nenne ihn mal \( \varphi \). Man kann sich nun überlegen, dass gilt

\( \varphi( \vec{e_1}) = \vec{e_2} \)

\( \varphi( \vec{e_2}) = - \vec{e_1} \)

\( \varphi( \vec{e_3}) = \vec{e_3} \)

(Ich bezeichne hier mit \( \vec{e_i} \) den \(i\)-ten Standardbasisvektor)

Ein beliebiger Vektor zur Ebene hat die Form

\( \vec{p} = \begin{pmatrix} x_0 \\ 6-2x_0-2z_0 \\ z_0 \end{pmatrix} = x_0 \vec{e_1} + (6-2x_0-2z_0) \vec{e_2} + z_0 \vec{e_3} \).

Sein Bild unter der Drehung ist dann

\( \varphi( \vec{p}) \) \( = x_0 \varphi( \vec{e_1}) + (6-2x_0-2z_0) \varphi( \vec{e_2}) + z_0 \varphi( \vec{e_3}) \) \( = x_0 \vec{e_2} + (6-2x_0-2z_0)(- \vec{e_1}) + z_0 \vec{e_3} = \begin{pmatrix} 2x_0+2y_0-6 \\ x_0 \\ z_0 \end{pmatrix} \)

Wir erhalten also als neue Koordinaten

\( x = 2x_0+2y_0-6 \)

\( y = x_0 \)

\( z = z_0 \)

Daraus folgt dann die Ebenengleichung

\( E^*: x-2y-2z=-6 \)

Hey, das geht einfacher! Du brauchst hier überhaupt keine Drehmatrix aufstellen, wenn du ein paar logische Überlegungen anstellst.

Nimm dir einen beliebigen Punkt in deinem Koordinatensystem im ersten Quadranten, der muss noch nicht auf der Ebene liegen. Der soll Mal die Koordinaten \( (x,y,z) \) haben. 

So, jetzt wird gedreht! Die z-Koordinate des Punktes bleibt offensichtlich bestehen, da wir um die z-Achse drehen. Also was passiert mit den anderen Koordinaten?

Die ursprüngliche x-Koordinate, also der Abschnitt in Richtung der positiven x-Achse zeigt jetzt nach Beschreibung in y-Richtung! Sie ist die neue y-Koordinate.

Und die neue x-Koordinate ist der alte Abschnitt in y-Richtung, aber mit negativem Vorzeichen.

(Ich hoffe das wird alles mit meiner Skizze klarer, das ist einfach vorzustellen, wenn du dir den Punkt an einer Stange an der z-Achse fixiert vorstellst, die du um 90° drehst)

Der neue Punkt der gedreht wurde liegt jetzt also auf den ursprünglichen Koordinaten \( (-y,x,z) \). Ist dir das bis dahin klar?

Was passiert mit Punkten in den anderen Quadranten der x-y-Ebene? Zeichne dir das am Besten auch einfach auf! 

Was passiert dann also wenn du eine ganze Ebene (eine Menge von Punkten) dieser Drehung unterziehst?

Viele Grüße, jojoliese

Hier nochmal mit Matrix, damit du siehst wie wunderbar das Gleiche rauskommt! 

Die Matrix für die Drehung um eine Achse kannst du nachschauen, die ist gegeben als

\( R_{z}( \alpha) = \begin{pmatrix} cos \alpha && - sin \alpha && 0 \\ sin \alpha && cos \alpha && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{pmatrix} \)

Wenn du für \( \alpha \) dort 90° einsetzt kommst du auf eine ganz einfache Matrix! 

\( R_{z}( 90°) = \begin{pmatrix} 0 && -1 && 0 \\ 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 \end{pmatrix} \)

Vielleicht siehst du hier schon wie das mit dem anderen Weg zusammenpasst.

Die Abbildung eines Punktes durch diese Matrix ist ja gerade 

\( \begin{pmatrix} 0 && -1 && 0 \\ 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0&& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\x\\z \end{pmatrix} \).

Beim sturen Anwenden der Definition der Drehmatrix, die natürlich auch erklärbar ist, aber falls grundsätzliche Probleme mit dem Verständnis der Drehmatrizen bestehen schaust du dir vielleicht lieber die Videos unten an, kommst du also auf die gleiche Überlegung wie für einen einzelnen Punkt. 

Hast du einen und vielleicht sogar beide Wege für den Punkt verstanden? Was passiert jetzt mit der ganzen Ebene unter Abbildung?

Viele Grüße, jojoliese