Das ist im Prinzip richtig. Man kann und sollte das sauberer aufschreiben:

Bei Dir gehen in der letzten Zeile limes und Folge durcheinander.

Schreibe limes erst, wenn die Konvergenz geklärt ist. Nicht vorher. Die einfachste, sicherste, sauberste Schreibweise ist:
$\frac1{4n}\sum = ... = \frac{8n}{4n}=2\longrightarrow 2$ für $n\to\infty$. Fertig, reicht so. Man kann dann nochmal "Also $\lim .... =2$." hinschreiben.

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Ja das passt so,also Überlegung und Ergebnis stimmen. Die Notation ist etwas chaotisch. Dir fehlt in der letzten Zeile ein Limes nach dem $=$-Zeichen.

Aber ja du machst es richtig, dass du erst die Summe betrachtest ohne Limes. Danach sagst du dann
$\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \frac{1}{4n} \sum_{k=0}^{\infty} \ldots =\underset{n\longrightarrow \infty}{\lim} \ldots =2$