Die Anzahl der Komponenten ist hier wurscht.
Es kommt auf die Anzahl der Argumente an.
Wenn eine Funktion mehr als ein Argument hat, dann ist "stetig partiell differenzierbar" nicht gleichbedeutend mit "total differenzerbar".
Beispiel: Die Funktion
  \(f(x,y) = \left\{\begin{array}{clc}
   0 &\mbox{für}& x=0 \\
   0 &\mbox{für} &y=0 \\
   1 & \mbox{sonst}
\end{array}\right.
\)

ist im Punkt (0,0) stetig differenzierbar, d.h.

  \(\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial x}(0,0) = 0\)
  \(\displaystyle \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}(0,0) = 0\)

Aber f ist dort nicht total differenzierbar.