Poissonverteilung maximal.

Aufrufe: 517     Aktiv: 08.02.2022 um 17:22

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Hey, 
Es sei die Zufallsvariable X Possionverteilt zu \(\lambda\). Für welche Werte von k wird P(X=k) maximal? 
Als Hinweis habe ich dass man den Quotienten \(\frac{P(X=k+1)} {P(X=k)}\) anschauen soll. Wenn ich den ausrechne bekomme ich \(\frac{\lambda}{ k+1}\). Aber irgendwie weiß ich jetzt nicht so ganz was ich damit anfangen soll? Ich weiß natürlich, dass P( X=k) maximal 1 werden kann, aber weshalb sollte ich mir den Quotienten dazu ansehen? Ich will ja auch nicht, dass der Quotient maximal wird oder so. Ist bestimmt ganz einfach, über Hinweise freue ich mich dennoch. Danke
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Überlege dir mal, was mit dem Quotienten passieren muss, wenn du in der Umgebung des Maximums bist.
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ich gehe mal davon aus, dass er 1 werden soll. Aber einleuchtend finde ich das irgendwie nicht.   ─   sorcing 06.02.2022 um 19:29

sorry, aber ich verstehe es nicht. Mit Wert meinst du den Quotienten \(\frac{\lambda}{k+1}\) oder?
Ich bekomme halt \(P(X=k+1)\) = \(\frac{\lambda}{k+1} P(X = k)\). Und wenn angenommen \(P(X = k+1)\) das Maximum ist, dann muss \(\frac{\lambda}{k+1}\) größer 1 sein. Ansonsten kleiner 1. Ist es das?
  ─   sorcing 07.02.2022 um 14:37

Also am Maximum $k$ muss gelten \(P(X = k+1) \leq P(X = k)\), also $\frac{\lambda}{k+1} = \frac{P(X = k+1)}{P(X = k)} \leq 1$
Auserdem muss $\frac{\lambda}{k} = \frac{P(X = k)}{P(X = k-1)} \geq 1$ gelten.
Das sich die beiden Quotienten im Nenner um genau 1 unterscheiden und sich das Ungleichheitszeichen umdreht, muss für $\lambda \in \mathbb{N}$ dann $ k =\lambda $ sein, da dann beide Ungleichungen erfüllt sind. Oder $ k = \lambda -1$ da dann auch beide Ungleichungen erfüllt sind.
Wenn $\lambda \notin \mathbb{N}$, dann muss $k = \lfloor\lambda \rfloor $ sein, wonach beide Ungleichungen erfüllt sind.
Richtig so?
  ─   sorcing 08.02.2022 um 15:56

Leider scheint diese Antwort Unstimmigkeiten zu enthalten und muss korrigiert werden. Cauchy wurde bereits informiert.
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Du hast ja jetzt $\mathbb{P}(X=k)=\frac{\lambda}{k}\mathbb{P}(X=k-1)$. Du könntest das jetzt auch als Folge auffassen via $a_k = \mathbb{P}(X=k)$ und als Startwert hast du $a_0 = \mathbb{P}(X=0)>0$. Du kannst dir ja mal verschiedene Werte von $\lambda$ und die dazugehörigen Folgenglieder angucken.
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