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Hallo mfieok0,
ich versuche zunächst verständlich zu machen, warum du keinen Beweis der Behauptung erbracht hast.
a) Du sprichst von einem "Term von $\psi$". Was soll das genau sein? Wir dürfen nur voraussetzen: "$\psi$ ist ein Automorphismus des Körpers $\mathbb{Q}$". Es ist nichts darüber vorausgesetzt, dass sich $\psi$ in irgendeiner Weisee durrch einen "geschlossenen Term" (was auch immer das genau heißen soll) darstellen lässt. Denke z.B. auch an Abbildungen wie $\psi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q},\quad \psi(x)=\begin{cases}4711&\text{falls }x=2\\ x&\text{falls }x\neq2 \end{cases}$.
b) Du sprichst davon, dass im "Term von $\psi$" keine Addition stattfinde. Was ist z.B. mit $\psi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q},\quad\psi(x)=-x+2x$? Das ist eine (umständliche) Darstellung des Automorphismus' $\psi=\operatorname{id}_\mathbb{Q}$. Vermutlich würdest du jetzt sagen, dass eine Addition mit den Summanden -x und 2x stattfinde.
c) Es gibt jede Menge Abbildungen $\psi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ mit $\psi(0)=0$ und $\psi(1)=1$, die nicht mit $\operatorname{id}_{\mathbb{Q}}$ übereinstimmen. Ein Beispiel habe ich unter a) bereits genannt. Ein anderes Beispiel wäre z.B. durch $\psi(x)=x^2$ für alle $x\in\mathbb{Q}$ gegeben. Von daher ist es gar nicht möglich, allein von $\psi(0)=0$ und $\psi(1)=1$ auf $\psi=\operatorname{id}_{\mathbb{Q}}$ zu schließen.
Nachdem nun hoffentlich grundlegende Missverständnisse ausgeräumt sind (anderenfalls bitte nachhaken!), gilt es nun komplett neu anzufangen.
Wir betrachten einen beliebig (!) vorgegebenen Automorphismus $\psi$ des Körpers $\mathbb{Q}$.
Zeigen müssen wir $\psi=\operatorname{id}_\mathbb{Q}$.
Dafür genügt es zu zeigen: $\psi(x)=x$ für alle $x\in\mathbb{Q}$.
Als Vorübung zeige mal sauber $\psi(2)=2$.
Danach gilt es nacheinander folgendes zu zeigen:
1. $\psi(n)=n$ für alle $n\in\mathbb{N}_0$ (Induktion)
2. $\psi(n)=n$ für alle $n\in\mathbb{Z}$
3. $\psi(\frac{n}{m})=\frac{n}{m}$ für alle $n\in\mathbb{Z}$ und $m\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$.
Aus 3. folgt dann wie gewünscht $\psi(x)=x$ für alle $x\in\mathbb{Q}$.
Viele Grüße
Tobias
ich versuche zunächst verständlich zu machen, warum du keinen Beweis der Behauptung erbracht hast.
a) Du sprichst von einem "Term von $\psi$". Was soll das genau sein? Wir dürfen nur voraussetzen: "$\psi$ ist ein Automorphismus des Körpers $\mathbb{Q}$". Es ist nichts darüber vorausgesetzt, dass sich $\psi$ in irgendeiner Weisee durrch einen "geschlossenen Term" (was auch immer das genau heißen soll) darstellen lässt. Denke z.B. auch an Abbildungen wie $\psi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q},\quad \psi(x)=\begin{cases}4711&\text{falls }x=2\\ x&\text{falls }x\neq2 \end{cases}$.
b) Du sprichst davon, dass im "Term von $\psi$" keine Addition stattfinde. Was ist z.B. mit $\psi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q},\quad\psi(x)=-x+2x$? Das ist eine (umständliche) Darstellung des Automorphismus' $\psi=\operatorname{id}_\mathbb{Q}$. Vermutlich würdest du jetzt sagen, dass eine Addition mit den Summanden -x und 2x stattfinde.
c) Es gibt jede Menge Abbildungen $\psi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ mit $\psi(0)=0$ und $\psi(1)=1$, die nicht mit $\operatorname{id}_{\mathbb{Q}}$ übereinstimmen. Ein Beispiel habe ich unter a) bereits genannt. Ein anderes Beispiel wäre z.B. durch $\psi(x)=x^2$ für alle $x\in\mathbb{Q}$ gegeben. Von daher ist es gar nicht möglich, allein von $\psi(0)=0$ und $\psi(1)=1$ auf $\psi=\operatorname{id}_{\mathbb{Q}}$ zu schließen.
Nachdem nun hoffentlich grundlegende Missverständnisse ausgeräumt sind (anderenfalls bitte nachhaken!), gilt es nun komplett neu anzufangen.
Wir betrachten einen beliebig (!) vorgegebenen Automorphismus $\psi$ des Körpers $\mathbb{Q}$.
Zeigen müssen wir $\psi=\operatorname{id}_\mathbb{Q}$.
Dafür genügt es zu zeigen: $\psi(x)=x$ für alle $x\in\mathbb{Q}$.
Als Vorübung zeige mal sauber $\psi(2)=2$.
Danach gilt es nacheinander folgendes zu zeigen:
1. $\psi(n)=n$ für alle $n\in\mathbb{N}_0$ (Induktion)
2. $\psi(n)=n$ für alle $n\in\mathbb{Z}$
3. $\psi(\frac{n}{m})=\frac{n}{m}$ für alle $n\in\mathbb{Z}$ und $m\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$.
Aus 3. folgt dann wie gewünscht $\psi(x)=x$ für alle $x\in\mathbb{Q}$.
Viele Grüße
Tobias
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tobit
Sonstiger Berufsstatus, Punkte: 300
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Gibt es eigentlich einen anderen Körperismorphismus von Q-->Irgendetwas, außer die Id?
Also mal allgemein Körperisomorphe betrachtet und nicht nur Automorphs. Selbst da gibts ja eigentlich nur Id oder? ─ mfieok0 25.09.2022 um 17:04
Also mal allgemein Körperisomorphe betrachtet und nicht nur Automorphs. Selbst da gibts ja eigentlich nur Id oder? ─ mfieok0 25.09.2022 um 17:04
Es gibt nach klassischer Mengenlehre (z.B. ZFC) viele Körper, die grob gesprochen wie $\mathbb{Q}$ aufgebaut sind, aber deren Elemente andere Namen haben. Beispielsweise könnten wir $\mathbb{Q}':=\{\{x\}\;|\;x\in\mathbb{Q}\}$ betrachten. In $\mathbb{Q}'$ hat man also statt Zahlen einelementige Mengen (mit je einer rationalen Zahl als Element) als Elemente. Man kann nun in naheliegenderweise eine wohldefinierte Addition und Multiplikation auf $\mathbb{Q}'$ definieren durch $\{x\}+\{y\}:=\{x+y\}$ und $\{x\}\cdot\{y\}:=\{x\cdot y\}$. Dann kann man nachrechnen, dass $\mathbb{Q}'$ mit dieser Addition und Multiplikation ein Körper ist. Weiter kann man nachprüfen, dass die Abbildung $\psi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}',\quad\psi(x)=\{x\}$ ein Körperisomorphismus ist. Vermutlich wird $\mathbb{Q}'\neq\mathbb{Q}$ und $\psi\neq\operatorname{id}_{Q}$ gelten.
(In neueren sogenannten strukturellen Mengenlehren hingegen sind meist beliebige Mengen gar nicht ohne weiteres auf Gleichheit überprüfbar. Daher lässt sich die Frage, ob es zu $\mathbb{Q}$ isomorphe Körper ungleich $\mathbb{Q}$ gibt, dort gar nicht sinnvoll formulieren.) ─ tobit 25.09.2022 um 19:25
(In neueren sogenannten strukturellen Mengenlehren hingegen sind meist beliebige Mengen gar nicht ohne weiteres auf Gleichheit überprüfbar. Daher lässt sich die Frage, ob es zu $\mathbb{Q}$ isomorphe Körper ungleich $\mathbb{Q}$ gibt, dort gar nicht sinnvoll formulieren.) ─ tobit 25.09.2022 um 19:25
Ich habe schon mal bewiesen, dass wenn psi(0)=0 sein muss und psi(1)=1 , dass der Term die Identität sein muss, anders geht das nicht, kannst ja versuchen.
Sprich das hab ich schon mal dargestellt. Klar danach muss ich noch zeigen, dass f(a+b)=f(a)+f(b) und f(a*b)=f(a)*f(b), aber das ist ja dann nicht mehr wirklich schwer. ─ mfieok0 24.09.2022 um 23:37