Wie kann ich diesen Beweis mathematisch formulieren?

Aufrufe: 486     Aktiv: 26.09.2022 um 17:49

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Ein Ein schneller Beweis, dass nichts anderes ein Körperautomorphismus ist, ist der Hinweis, psi(0)=0 und psi(1)=1

Damit psi(0)=0 ist, heißt es ja, dass beim Term von psi keine Addition stattfindet, weil, wenn ich eine Addition hätte, so würde ich ja am Ende nicht 0 haben, mit psi(0).

Bei psi(1)=1, weiß ich, dass ich keine zusätzliche Multiplikation habe, weil wenn ich eine Multiplikation mit einer Zahl von Q hätte, so würde ja bei 1 eingesetzt nicht 1 rauskommen. So weiß ich mit dem Hinweis, dass nur noch die Identität übrig bleibt.

Aber wie formuliert man dies nun mathematisch?
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Das ist ein vollständiger Beweis, hätte ich zumindest mal gedacht.

Ich habe schon mal bewiesen, dass wenn psi(0)=0 sein muss und psi(1)=1 , dass der Term die Identität sein muss, anders geht das nicht, kannst ja versuchen.

Sprich das hab ich schon mal dargestellt. Klar danach muss ich noch zeigen, dass f(a+b)=f(a)+f(b) und f(a*b)=f(a)*f(b), aber das ist ja dann nicht mehr wirklich schwer.
  ─   mfieok0 24.09.2022 um 23:37

Sorry, ich hätte erwähnen sollen, dass ich das eigentlich easy beweisen kann, mit den Hinweisen auf den normalen Weg. Mir gings eher darum, dass ich sagen wollte, dass ich glaube ich habe einen eleganteren Beweis.
Warum ich das ignoriere? --> Also der Hinweis sagt, ES MUSS GELTEN, DASS PSI(0)=0 und PSI(1)=1.

Und das gilt nur bei der Identität, sprich durch die Aussage, dass das gelten muss und ich nur einen Term habe wo das gilt, reicht das ja eigentlich als Beweis aus?

(Ich mache das jetzt einfach normal, also nicht so, sondern mit den zwei Hinweisen, aber verstehst Du meinen Gedankengang? Wenn gilt, dass psi(0)=0 und psi(1)=1 sein muss und das nur mit einem Term geht, dann muss dieser auch der Körperautomorphismus sein, verstehst Du? Wenn ich z. B. 3-4 Terme hätte, dann würde das nicht gehen alleine und ich müsste üblich beweisen, aber so passt das doch?)
  ─   mfieok0 25.09.2022 um 14:00

Noch einmal: Z.B. die Abbildung $\psi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ definiert durch $\psi(x)=x^2$ für alle $x\in \mathbb{Q}$ erfüllt auch $\psi(0)=0$ und $\psi(1)=1$, ist aber NICHT die Identität (z.B. $\psi(2)=2^2=4\neq 2$). Insofern ist deine Behauptung "$\psi(0)=0$ und $\psi(1)=1$ gelten nur bei der Identität" nicht nur unbegründet, sondern für beliebige Abbildungen $\psi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ darüber hinaus auch i.A. falsch.   ─   tobit 25.09.2022 um 14:09

Ja gut, dann hats sich geklärt. Danke euch   ─   mfieok0 25.09.2022 um 16:59


Gibt es eigentlich einen anderen Körperismorphismus von Q-->Irgendetwas, außer die Id?
Also mal allgemein Körperisomorphe betrachtet und nicht nur Automorphs. Selbst da gibts ja eigentlich nur Id oder?
  ─   mfieok0 25.09.2022 um 17:33

Identität ist aber ein Automorphismus...   ─   mathejean 25.09.2022 um 18:07

Das klar, was ich meine. Es gibt doch auch keinen Isomorphismus von Q-->irgendetwas, außer Id bzw der Automorphismus von Q-->Q   ─   mfieok0 25.09.2022 um 18:45
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Hallo mfieok0,

ich versuche zunächst verständlich zu machen, warum du keinen Beweis der Behauptung erbracht hast.

a) Du sprichst von einem "Term von $\psi$". Was soll das genau sein? Wir dürfen nur voraussetzen: "$\psi$ ist ein Automorphismus des Körpers $\mathbb{Q}$". Es ist nichts darüber vorausgesetzt, dass sich $\psi$ in irgendeiner Weisee durrch einen "geschlossenen Term" (was auch immer das genau heißen soll) darstellen lässt. Denke z.B. auch an Abbildungen wie $\psi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q},\quad \psi(x)=\begin{cases}4711&\text{falls }x=2\\ x&\text{falls }x\neq2 \end{cases}$.

b) Du sprichst davon, dass im "Term von $\psi$" keine Addition stattfinde. Was ist z.B. mit $\psi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q},\quad\psi(x)=-x+2x$? Das ist eine (umständliche) Darstellung des Automorphismus' $\psi=\operatorname{id}_\mathbb{Q}$. Vermutlich würdest du jetzt sagen, dass eine Addition mit den Summanden -x und 2x stattfinde.

c) Es gibt jede Menge Abbildungen $\psi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ mit $\psi(0)=0$ und $\psi(1)=1$, die nicht mit $\operatorname{id}_{\mathbb{Q}}$ übereinstimmen. Ein Beispiel habe ich unter a) bereits genannt. Ein anderes Beispiel wäre z.B. durch $\psi(x)=x^2$ für alle $x\in\mathbb{Q}$ gegeben. Von daher ist es gar nicht möglich, allein von $\psi(0)=0$ und $\psi(1)=1$ auf $\psi=\operatorname{id}_{\mathbb{Q}}$ zu schließen.


Nachdem nun hoffentlich grundlegende Missverständnisse ausgeräumt sind (anderenfalls bitte nachhaken!), gilt es nun komplett neu anzufangen.

Wir betrachten einen beliebig (!) vorgegebenen Automorphismus $\psi$ des Körpers $\mathbb{Q}$.
Zeigen müssen wir $\psi=\operatorname{id}_\mathbb{Q}$.
Dafür genügt es zu zeigen: $\psi(x)=x$ für alle $x\in\mathbb{Q}$.

Als Vorübung zeige mal sauber $\psi(2)=2$.

Danach gilt es nacheinander folgendes zu zeigen:
1. $\psi(n)=n$ für alle $n\in\mathbb{N}_0$ (Induktion)
2. $\psi(n)=n$ für alle $n\in\mathbb{Z}$
3. $\psi(\frac{n}{m})=\frac{n}{m}$ für alle $n\in\mathbb{Z}$ und $m\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$.

Aus 3. folgt dann wie gewünscht $\psi(x)=x$ für alle $x\in\mathbb{Q}$.


Viele Grüße
Tobias
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Gibt es eigentlich einen anderen Körperismorphismus von Q-->Irgendetwas, außer die Id?
Also mal allgemein Körperisomorphe betrachtet und nicht nur Automorphs. Selbst da gibts ja eigentlich nur Id oder?
  ─   mfieok0 25.09.2022 um 17:04

Es gibt nach klassischer Mengenlehre (z.B. ZFC) viele Körper, die grob gesprochen wie $\mathbb{Q}$ aufgebaut sind, aber deren Elemente andere Namen haben. Beispielsweise könnten wir $\mathbb{Q}':=\{\{x\}\;|\;x\in\mathbb{Q}\}$ betrachten. In $\mathbb{Q}'$ hat man also statt Zahlen einelementige Mengen (mit je einer rationalen Zahl als Element) als Elemente. Man kann nun in naheliegenderweise eine wohldefinierte Addition und Multiplikation auf $\mathbb{Q}'$ definieren durch $\{x\}+\{y\}:=\{x+y\}$ und $\{x\}\cdot\{y\}:=\{x\cdot y\}$. Dann kann man nachrechnen, dass $\mathbb{Q}'$ mit dieser Addition und Multiplikation ein Körper ist. Weiter kann man nachprüfen, dass die Abbildung $\psi\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}',\quad\psi(x)=\{x\}$ ein Körperisomorphismus ist. Vermutlich wird $\mathbb{Q}'\neq\mathbb{Q}$ und $\psi\neq\operatorname{id}_{Q}$ gelten.
(In neueren sogenannten strukturellen Mengenlehren hingegen sind meist beliebige Mengen gar nicht ohne weiteres auf Gleichheit überprüfbar. Daher lässt sich die Frage, ob es zu $\mathbb{Q}$ isomorphe Körper ungleich $\mathbb{Q}$ gibt, dort gar nicht sinnvoll formulieren.)
  ─   tobit 25.09.2022 um 19:25

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