Das hast du noch gar nicht gezeigt. Der Grund, warum du ihn hinschreibst, ist, weil du die Definition deiner Behauptung "\(|a_n-a|\to \infty\)" einsetzt. Dann musst du einen solchen Satz aber auch einführen mit "Wir wollen folgendes zeigen: " oder "Die Behautung ist äquivalent zu: " oder "Es genügt folgendes nachzuweisen: " oder "Die Behauptung \(|a_n-a|\to \infty\) ist definiert als." oder ....
Was du bereits sicher weißt und was du anstrebst muss immer trennscharf formuliert sein.
2.) Der Wert \(n(\epsilon)\) ist nirgens definiert und wird einfach im vorletzten Term benutzt.
3.) Das ist der wichtigste Punkt: Es ist mir überhaupt nicht ersichtlich, wie du \(\frac{|2-n|}{1+n_0^2(\epsilon)}<\epsilon\) gezeigt hast.
Frage: Hattet ihr eigentlich schon den Satz von L'Hospital gehabt?
Punkte: 705
1.) Zunächst einmal kannst du damit beginnen diese Betragsstriche wegzulassen. Für ein hinreichend großes \(n\) lässt sich genau vorhersagen, ob der Zähler 2-n oder n-2 wird.
2.) Danach kannst du den Bruch aufteilen, sodass im Zähler keine Summe mehr steht.
3.) Bedenke, dass du eine Ungleichung hast. Das heißt du kannst immer Abschätzen. Abschätzungen, die ich verwendet habe um diese Aufgabe zu beweisen waren zum Beispiel \(1+\frac{1}{n_0^2}>1\) oder \(-\frac{2}{1+x^2} < 0\).
Du musst geeignete Stellen für diese Umformungen finden ohne den Zielwert \(\epsilon\) zu überschreiten.
Probiere einfach nochmal ein bisschen rum mit diesen Tipps. ─ cunni 06.11.2021 um 16:17
Das \(n_0\) kommt in der Umformung nicht zwangsläufig vor. ─ cunni 06.11.2021 um 16:31
Beim anderen Bruch kann man die \(1\) im Nenner weglassen, wodurch der Bruch insgesamt auch größer wird. Bleibt \(\frac{n}{n^2}\) übrig. Einmal kürzen und dann \(n\geq n_0\geq\frac{1}{\epsilon}\Leftrightarrow \frac{1}{n} \leq \epsilon\) verwenden: Fertig.
Das ist wahrscheinlich etwas direkter als bei mikn. Dafür hilft dir sein Ansatz deutlich mehr, wenn du die Definition von \(n_0(\epsilon)\) noch nicht kennst. Und das passt vielleicht besser zu der Situation in der Klausur. Hier hast du mir ja das (zufällig korrekte) \(n_0>\frac{1}{\epsilon}\) schon vorgegeben. ─ cunni 06.11.2021 um 17:24
Bis vor der Stelle, wo du schreibst \(<\epsilon\) ist alles ok. Das habe ich auch so. Aber dann kommt wieder meine Aussage von oben.
Woher weißt du, dass die Summe aus diesen 2 Brüchen kleiner sei als \(\epsilon\)? Du musst deutlich machen, was bekanntes Wissen ist und was gefordertes Wissen. Zum Beispiel mit einem Ausrufungszeichen über dem \(<\)
Die Zeilen danach beginnen jeweils mit einem Gleichheitszeichen. Das ist auch falsch. Diese Gleichheitszeichen müssten Äquivalenzzeichen sein.
Mal ganz davon abgesehen, würde ich ohnehin nicht zu Äquivalenzumformungen wechseln. Du hast \( \frac{n}{1+n^2} - \frac{2}{1+n^2} \) und von dort aus kann man mit den Umformungen aus meinem letzten Kommentar einfach bis \(\epsilon \) weiter machen. ─ cunni 06.11.2021 um 17:32
forderst du das bezüglich \(\epsilon \) mit einem Ausführungszeigen und stellst nach \(\epsilon \) um
\[ \begin{align*} \frac{1}{n} &\overset{!}{<} \epsilon \\
\overset{\cdot n}{\Leftrightarrow} 1 &\overset{!}{<} n\epsilon\\
\overset{ : \epsilon }{\Leftrightarrow} \frac{1}{\epsilon} &\overset{!}{<} n\\
\end{align*} \] ─ cunni 06.11.2021 um 17:50
Den Test verstehe ich auch nicht ganz. Wo ist das \(n\) im Nenner hin? Außerdem würde ich dieses \(\frac{1}{\infty}\) weglassen. Auch wenn jeder weiß das gemeint ist, ist das irgendwie ungenau.
Außerdem verstehe ich den Test insgesamt auch nicht. Dieser "Test" ist doch vielmehr eine konkrete Berechnung aber eben ohne \(\epsilon\)-Kriterium. Das ist einfach ein anderer Weg die Berechnung zu machen. ─ cunni 06.11.2021 um 18:00
kann ich das denn nach n0 umformen? ─ anonymf76f7 06.11.2021 um 16:03