Vermeintlich "Offensichtliche" umformung

Erste Frage Aufrufe: 341     Aktiv: 22.03.2023 um 16:49

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Hallo ihr Lieben,
Ich möchte für eine Mathepräsentation das Heron-Verfahren zur Wurzelbestimmung erklären. Hierzu muss ich natürlich die untere Schranke sowie die Monotonie beweisen. An sich kein problem das alles nachzuvollziehen ich stehe nur auf dem Schlauch bei einem Umformungsschrit bei dem Beweis der Monotonie:
\( x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_n + \frac{a}{x_n}) \\
x_{n+1}^2 - a = \frac{1}{4} (x_n + \frac{a}{x_n})^2-a = \frac{1}{4} (x_n - \frac{a}{x_n})^2 \geq 0 \)

Die Gleichheit von Schritt 2 zu 3 wird wohl als offensichtlich angenommen

\( \frac{1}{4} (x_n + \frac{a}{x_n})^2-a = \frac{1}{4} (x_n - \frac{a}{x_n})^2 \)

jedoch muss ich sagen, dass ich das auf den ersten Blick (lehrämtler) nicht so offensichtlich finde, dass das "-a" das vorzeichen im quadratischem Binom wechselt.
natürlich komm ich auf das ergebnis durch Binomische formeln und ausrechnen

\( \frac{1}{4} (x_n + \frac{a}{x_n})^2-a \\
= (x_n + \frac{a}{x_n})^2-4a \\
= x_n^2 + 2\frac{a}{x_n} + (\frac{a}{x_n})^2 - 4a\\
= x_n^2 + 2\frac{a}{x_n} + (\frac{a}{x_n})^2 - 4 \frac{ax_n}{x_n} \\
= x_n^2 + 2\frac{a}{x_n} - 4\frac{ax_n}{x_n} + (\frac{4a}{x_n})^2\\
= x_n^2 - 2\frac{a}{x_n} + (\frac{a}{x_n})^2 \\
= \frac{1}{4} (x_n - \frac{a}{x_n})^2 \)

Gibt es eventuell einen Satz o.ä den ich gerade nicht auf den Schirm habe oder ist das tatsächlich der "offensichtliche" weg?

Liebe Grüße
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Das ist der "offensichtliche" Weg, aber nur von der Idee her. Deiner ist nicht richtig, weil Du $\cdot 4$ gerechnet hast und einfach mit $=$ weitergeschrieben hast (und am Ende dann $/4$). Der ist deshalb offensichtlich, weil ja nur simple Umformungen ohne Tricks vorgenommen werden.
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Lehrer/Professor, Punkte: 39.14K

 

ja, die betreffenden Gleichheitszeichen gerne durch Äquivalenzzeichen ersetzen ;) Aber gut, dann kann (muss) ich damit arbeiten. Es ging sich auch eher um die Idee, falls während der Präsentation nachfragen kommen und ich da nicht stehen möchte "Ja ist halt offensichtlich" da ich weiß, dass unter uns Lehrämter auch mal solche Umformungen Probleme bereiten können :)   ─   cr1t 22.03.2023 um 15:19

Nein, auch kein Äquivalenzzeichen! Wenn solche Dinge (auch der Unterschied zwischen $=$ und $\iff$) schon Probleme machen, wie wollt Ihr das dann Schülern erklären? Das geht nur, wenn man es wirklich 100%ig selbst verstanden hat - und übrigens auch Spaß und großes Interesse am Fach hat. Wer das nicht hat, für den gibt es genügend andere Berufe.
  ─   mikn 22.03.2023 um 15:26

Das ging jetzt aber sau schnell in eine unfreundliche Richtung... Das Problem ist nicht solche Rechnungen nachzuvollziehen, das bekommt denke ich jeder von uns hin (wie hier auch gezeigt, die Rechnung habe ich durch einfaches aufschreiben und durchrechnen in 2 Minuten hinbekommen) , das Problem bei solchen Umformungen ist, dass diese häufig in Vorlesungen von Profs in Vorlesungen hingeschrieben werden und als Trivial angenommen werden. Selbiges gilt bei beweisen von Sätzen, Lemmata etc. ohne, dass man wirklich zeit hat sich damit zu beschäftigen. Ich für meinen Teil versuch dies meist nach Vorlesungen jedoch ist es Deprimierend, wenn man eine solche Rechnung nicht (direkt) verstanden hat, was denke ich jedem noch so guten Mathematiker passiert, dass man einfach mal auf dem schlauch steht, und direkt weiter gemacht wird bzw. man nur die Aussage bekommt "Ja ist trivial... Anyways weiter gehts".

Ich hätte auch wahlweise die Rechnung ohne mit 4 zu Multiplizieren und am ende wieder durch 4 zu teilen machen können. Hätte das irgendetwas am Ergebnis verändert oder die Rechnung nur unübersichtlicher gemacht? Ist einen Term übergangsweise in eine "Saubere" Form zu bringen nichts was zum besseren Verständnis beitragen kann?

Mir jetzt eine Falsche Berufswahl aufgrund eines Formfehlers vorzuwerfen finde ich sehr anmaßend und in diesem Forum nicht angebracht. Ein einfaches "Nein Zeichen X darfst du nicht verwenden weil... benutze lieber Zeichen Y denn... " wäre in einem "Mathe-Hilfe-Forum" deutlich angebrachter gewesen. Auch wenn ich hier einen Fehler gemacht habe:
1. Es ist zu erkennen, dass ich mich mit dem Hauptproblem beschäftigt habe
2. Fehler sind dazu da um gemacht werden zu dürfen, wichtig ist, dass man aus ihnen lernt.
  ─   cr1t 22.03.2023 um 15:46

Lies meinen Kommentar nochmal genau. Ich hab nichts vorgeworfen, das steht mir auch nicht an, weil ich Dich nicht kenne. Das mit der "offensichtlichen" Umformung ist alles ok und kann ich nachvollziehen. Aber wie locker Du $=$ und $\iff$ einfach so hinschreibst, ohne anscheinend zu wissen, was eine Umformung ist und was sie nicht ist, das geht überhaupt nicht. Von Deiner Erklärung hab ich den Eindruck, dass Du korrekte Schreibweisen anscheinend nicht ernst nimmst. Hier im Forum wimmelt es von Fragern mit "Unser Lehrer hat das angeschrieben, aber ich verstehe es nicht". Wir sehen die Folgen davon andauernd.
Bei 1. und 2. stimme ich Dir zu, aber Du spielst den Fehler Deiner falschen Schreibweise und vor allem dem fehlenden Verständnis dessen, was eine Umformung ist, herunter. Und das ist traurig für einen angehenden Lehrer.
  ─   mikn 22.03.2023 um 16:14

Wenn ich den Kommentar noch einmal genau lese, dann fällt mir auf: "Wenn solche Dinge (...) schon Probleme machen", ist unter Einbeziehung meines vorherigen Kommentars ganz klar auf das Verständnis der Umformung zu beziehen, da "auch der Unterschied (...)" noch einmal explizit erwähnt wurde. Von daher geht aus diesem Kommentar nicht hervor, dass das Problem der Umformung als "ok" und "nachvollziehbar" empfunden worden ist. Und die Anmaßung ist in diesem Kommentar gegeben, auch wenn sie Implizit gegeben ist. Wobei sich dies auch nur auf den Spaß den man benötigt beziehen lassen könnte. Der Gesamtkontext lässt jedoch interpretationsspielraum auf den spaß, so wie das Verständnis (welches bei nun offensichtlich in diesem Fall bezogen auf = und <=> nicht "100%ig" vorhanden ist) zu.

Aber nun gut, wäre es in deinem Interesse lieber gewesen, wenn ich Zeile 2-5 in klammern gesetzt hätte und noch ein "/4" am ende geschrieben hätte (Gleichheit), oder von mir aus auch in jeder Zeile ein "\( \geq 0 \)" ans ende gesetzt hätte und dann die Äquivalenz verwendet hätte, denn bis jetzt weiß ich nur, dass in der Formalen Schreibweise ein Fehler besteht, jedoch noch nicht, was genau das Problem sei.
  ─   cr1t 22.03.2023 um 16:32

Du hast erwähnt, dass die Umformung an sich schon Probleme machen kann, in Deinen Kreisen, darauf hab ich mich bezogen. Nachvollziehen kann ich die Frage danach, was man in einem Referat noch "offensichtlich" nennen kann und was Zusatzerläuterung bedarf.
Zu Deinem letzten Absatz: Es geht nicht um mein Interesse, sondern um das Verständnis Deiner Zuhörer. Und in mancher Hinsicht ist Mathe ganz einfach, gerade in den Schreibweisen: $=$ darf nur zwischen Termen stehen, die gleich sind. Man kann das auch mal selbst laut lesen, dann fallen einem solche Fehler auch schonmal selbst auf.
  ─   mikn 22.03.2023 um 16:49

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