Hallo ihr Lieben,
Ich möchte für eine Mathepräsentation das Heron-Verfahren zur Wurzelbestimmung erklären. Hierzu muss ich natürlich die untere Schranke sowie die Monotonie beweisen. An sich kein problem das alles nachzuvollziehen ich stehe nur auf dem Schlauch bei einem Umformungsschrit bei dem Beweis der Monotonie:
\( x_{n+1} = \frac{1}{2} (x_n + \frac{a}{x_n}) \\
x_{n+1}^2 - a = \frac{1}{4} (x_n + \frac{a}{x_n})^2-a = \frac{1}{4} (x_n - \frac{a}{x_n})^2 \geq 0 \)

Die Gleichheit von Schritt 2 zu 3 wird wohl als offensichtlich angenommen

\( \frac{1}{4} (x_n + \frac{a}{x_n})^2-a = \frac{1}{4} (x_n - \frac{a}{x_n})^2 \)

jedoch muss ich sagen, dass ich das auf den ersten Blick (lehrämtler) nicht so offensichtlich finde, dass das "-a" das vorzeichen im quadratischem Binom wechselt.
natürlich komm ich auf das ergebnis durch Binomische formeln und ausrechnen

\( \frac{1}{4} (x_n + \frac{a}{x_n})^2-a \\
= (x_n + \frac{a}{x_n})^2-4a \\
= x_n^2 + 2\frac{a}{x_n} + (\frac{a}{x_n})^2 - 4a\\
= x_n^2 + 2\frac{a}{x_n} + (\frac{a}{x_n})^2 - 4 \frac{ax_n}{x_n} \\
= x_n^2 + 2\frac{a}{x_n} - 4\frac{ax_n}{x_n} + (\frac{4a}{x_n})^2\\
= x_n^2 - 2\frac{a}{x_n} + (\frac{a}{x_n})^2 \\
= \frac{1}{4} (x_n - \frac{a}{x_n})^2 \)

Gibt es eventuell einen Satz o.ä den ich gerade nicht auf den Schirm habe oder ist das tatsächlich der "offensichtliche" weg?

Liebe Grüße