Fünfaches Volumen eines Würfels.

Erste Frage Aufrufe: 505     Aktiv: 17.10.2022 um 16:51

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Ich schneide fünf Würfel mit Kantenlänge a an der Raumdiagonalen. Danach setze ich die zehn halben Würfel jeweils abwechselnd an der quadratischen Fläche und der Raumdiagonalenschnittfläche zusammen. Der daraus entstehende Raumkörper in nahezu fünfeckiger Form existiert mathematisch nicht, weil der Winkel Alpha nur 35,26° ist und nicht 36°, wie beim regelmäßigen Fünfeck.
Frage: Wie muss ich die Kantenlänge eines ähnlichen Raumkörpers verändern, damit die regelmäßige Fünfecks-Form erreicht wird.
Die mittlere Fünfeckskantenlänge b soll das doppelte der oberen, bzw. unteren Fünfeckskantenlänge sein. Außerdem soll das Volumen das fünffache des Würfels mit der Kantenlänge a sein. Ist das überhaupt möglich?
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dass ich diese Frage beantwortet habe, steht mir nicht zu. Im Kommentar kann ich aber keine Grafik zeigen. Ich möchte mit der Darstellung die Sache verdeutlichen, leider etwas spät.
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Wenn nichts verändert wird, bleibt das Volumen unverändert. Wurde nun schon mehrfach gesagt.   ─   cauchy 15.10.2022 um 19:24

Also ist die Frage doch noch nicht geklärt?🤔 Dann bitte nächstes mal erst abhaken sobald dies der Fall ist.

Du wolltest doch die Bezeichnung der Punkte verwenden. Warum sagst du nicht welcher Punkt mit welchem verbunden wird? Ist es dann nicht sinnvoll den entstehenden Punkten entlang der Kanten $\overline{AE}$ und $\overline{CG}$ auch noch eine Bezeichnung zu geben wie z.B. $I$ und $J$?

Hast du dich verschrieben oder wie möchtest du die Fläche ABCD mit der Fläche ABCD verbinden?

Und leider ist es für mich zunehmend mehr ein Rätsel was du erhalten möchtest. Erst wolltest du die Zerschnittenen Teile um 180 Grad drehen und an der Schnittfläche wieder zusammensetzen. Jetzt möchtest du wohl die Flächen (erneut Vermutung) ABCD und EFGH zusammenkleben, oder welche Punkte möchtest du wie verbunden in der dargestellten Zeichnung?

  ─   maqu 15.10.2022 um 19:25

Du kannst einen beliebigen Körper zerschnibbeln wie du möchtest. Wenn du ihn wieder zusammensetzt, ganz egal wie, bleibt das Volumen identisch. Genauso kannst du einen Liter Wasser "formen" wie du möchtest, es bleibt immer 1 Liter.   ─   cauchy 15.10.2022 um 19:33

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Wenn du davon überzeugt bist, dich nicht verschrieben zu haben, dann bist du schlicht nicht in der Lage zu erklären, was du willst. Wenn du den Würfel in zwei Teile teilst, dann hat dein zweites Teil die Punkte $A$ bis $D$ nicht. Also kannst du auch nicht zweimal dieselbe Fläche desselben Würfelteils aneinandersetzen. Ich verstehe maqus Einwand, denn für mich ist das hier auch nur noch irgendein Kauderwelsch, der vorne und hinten keinen Sinn ergibt.   ─   cauchy 15.10.2022 um 19:40

Ich habe (nachdem ich mir tatsächlich alles nochmal in ruhe zweimal durchgelesen habe) eine weitere Vermutung was du meinst. Gerade da es für mich nach wie vor ein Rätsel ist wo hier eine Volumenänderung eintreten soll.

Also ... kann es sein, dass du den Würfelteil mit ABCD als Grundfläche quasi verdoppelst, und um 180 Grad gedreht an dieser Grundfläche zusammenklebst? So würde der entstehende Körper dann immerhin ein anderes Volumen besitzen. Zwar noch längst nicht das Fünffache, aber vielleicht bin ich damit dem Rätsel etwas näher auf der Spur.

Aber ich stimme cauchy zu, ich möchte ja helfen, aber uns und damit auch dir wäre mehr geholfen wenn du dich so exakt wie möglich ausdrücken könntest ... ein Bild von dem zu entstehenden Körper (und wenn es nur eine Skizze auf Papier ist und als Foto an deiner Frage angefügt) wäre mehr wert als tausend Worte!
  ─   maqu 15.10.2022 um 19:49

Dann eben so: Wenn du 5 solcher Würfel auseinandernimmst und anders wieder zusammenklebst, hast du automatisch das fünffache Volumen eines solches Würfels, da du den neuen Körper ja mit 5 dieser Würfel zusammenbaust. Dabei ist es unerheblich, ob du ein regelmäßiges Fünfeck, eine Pyramide oder etwas ganz anderes damit bastelst (vorausgesetzt du verwendest auch alle deine Würfelteile).   ─   cauchy 15.10.2022 um 19:54

Dann zum x-ten Mal: Bei einer Formänderung bleibt das Volumen gleich, sofern du nichts hinzunimmst oder wegnimmst, eben eine reine Formänderung.   ─   cauchy 15.10.2022 um 19:57

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Da ist man mal nicht da, und schon gibt es 26 Nachrichten...

Ich bleibe mal bei der Abbildung.
Lasst uns bitte mal die Seiten, Richtungen und Ecken klären.

Sagen wir mal, dass links der Punkt I in der Mitte zwischen A und E liegt.
Der Punkt J soll gegenüber in der Mitte zwischen C und G liegen (rechts).

Es ist streng genommen noch gar nicht eindeutig geklärt, ob diese Punkte wirklich in der Mitte der Seite liegen sollen.
Mein Winkel bezog sich auf einen Fall, dass das nicht so ist. Insofern gibt es dann auch kein Problem.


Ich nehme aber jetzt an, dass es in der Mitte liegt. Falls das nicht richtig ist, wäre eine Rückmeldung hilfreich.

Die untere Würfelhälfte hat die Grundfläche ABCD und die schräge "obere" Fläche hat die Ecken BJHI.

Die obere Hälfte hat die Grundfläche oben, also EFGH und die gleiche schräge Fläche BJHI.
Damit es nicht zu Verwechslungen kommt, nenne ich diese vier Ecken des oberen Körpers B'J'H'I'.

Wenn ich das richtig verstehe, wird die obere Hälfte weggenommen und anders an die untere Hälfte angelegt.
Da aber die obere Hälfte kein A, kein B und kein D hat, verstehe ich noch immer nicht so ganz, wie das verbunden werden soll.
Vielleicht kannst Du das einmal mit den gegebenen und eindeutigen Buchstaben richtig klarstellen?

Zu den Rechnungen:
Die roten Kanten haben alle eine Länge von $1a$.
Die schwarz gestrichelte Raumdiagonale $HB$ hat die Länge $\sqrt{3}a$.
$GJ$ ist $0{,}5a$ lang.
Dann hat die Kante $HJ$ die Länge $\sqrt{\frac{5}{4}}a$.

In den Dreiecken $HJG$, $BCJ$, $ABI$ und $IHE$ gibt es dann die Winkel $26{,}57^\circ$, $63{,}43^\circ$ und $90^\circ$.

Nennen wir noch $M$ den Mittelpunkt des Würfels, dann hat $MJ$ die Länge $0{,}5\cdot \sqrt{2}$.

Damit hat das gleichschenklige Dreieck $HBJ$ die Basiswinkel $39{,}23^\circ$. Der Winkel bei $J$ beträgt dann $101{,}54^\circ$.
Der Winkel bei $B$, von dem die Raumdiagonale die Winkelhalbierende ist, ist dann $78{,}46^\circ$.

Das mittelrosa Viereck im Bild $BJHI$ ist also eine Raute, kein Quadrat EDIT: ... und kein Drachenviereck. Und vermutlich meinst Du mit den Distanzen Deines "Drachens" die Längen der Diagonalen, nicht die der Seiten... dann habe ich verstanden, wie Du zwei Stücke aufeinandersetzt.... aber das folgende bleibt:

Ich glaube, damit habe ich alle Winkel aller Flächen ausgerechnet, die an den Seitenflächen einer Würfelhälfte vorkommen. Ohne Kippen um andere Winkel als 90 oder 180 Grad sehe ich da keine Möglichkeit, auf ein Fünfeck zu kommen.

Um welchen Winkel geht es also wirklich?


Hinweis: ...es fehlen in dem "Vulkan" zwei fünfeckiger PyramidenSTÜMPFE... wenn ich das richtig sehe.
  ─   joergwausw 16.10.2022 um 20:21

Kleine Anmerkung bzgl. LaTeX: Wenn man das Komma in geschweifte Klammern setzt, wird das überflüssige und typographisch falsche Leerzeichen unterdrückt. ;)

$0{,}5$ vs. $0,5$.
  ─   cauchy 16.10.2022 um 20:33

Achja, immer diese Tricks.... wenn man hier packages benutzen könnte... "hoch-circ" ist schließlich auch keine Lösung...
Ich hoffe, dass ich alle Kommas im letzten Kommentar erwischt habe.
  ─   joergwausw 16.10.2022 um 23:08

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Doch hast du, weil du wieder Eckpunkte doppelt benennst.   ─   cauchy 17.10.2022 um 10:00

Das ist wirklich anstrengend, wenn die Begrifflichkeiten (fast) alle nicht stimmen.

Nochmal zur Klärung:

- Die Eckpunkte H,H,B,I,I,J,J sind nicht 7, sondern nur 4 unterschiedliche Ecken, ergeben damit also eine Raute und nicht das, was Du haben willst.
- Ein Siebeneck ist ein Streckenzug, kein Körper.
- Ein Trapezoid ist zweidimensional, kein Körper. Das was da entsteht, hat auf der einen Seite ein Trapez und auf der gegenüberliegenden Seite ein Dreieck. Damit ist es nicht einmal ein Trapezförmiger Pyramidenstumpf.

- Das gleichschenklige Dreieck HBJ hat weder 45° noch 90° Winkel (siehe vorigen Kommentar). Die Diagonale müsste ja bei einem halben Quadrat Wurzel-2 mal die Seitenlänge sein. Das ist aber nicht der Fall.
- Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel die beiden, die gleich groß sind. Hier 39,23°, nicht 45°. Rechnung per Sinus oder Tangens mit den gegebenen Seitenlängen. Das ist wichtig, weil Du offenbar hier von einer falschen Annahme über die Winkel ausgehst.

S2 ist also ein Körper, der aus zwei Würfelhälften eines Würfels besteht, bei dem A und G, B und H, C und E sowie D und F aufeinandergeklebt werden (quadratische Grundfläche).
Dann haben die im Bild hinten liegenden Flächen Trapezform, die beiden vorne liegenden gleichschenklige Dreiecke und es gibt zwei Rauten, eine oben, eine unten.

Wenn Du nun die Siebenecke S2 "an der Raute" zusammenlegst, dann ist unklar, welche Rauten Du wie zusammenlegst.
Denn durch das doppelte Umdrehen sieht es nun so aus, das Du im Endeffekt das gleiche hast, wie wenn Du zwei solcher Würfel übereinanderstapelst und vom oberen Würfel die Hälfte unten anfügst.
So kannst Du einen Turm bauen, aber kein Fünfeck legen.

Damit bin ich etwa bei Bemerkung 2.
Was passiert denn jetzt mit S2? Das kommt danach nicht mehr vor?

Wenn Du jedenfalls so ein Z1 zusammenbaust, dann liegen die beiden quadratischen Grundflächen so, dass H und B sich berühren. Da die Raumdiagonale (schwarz-gestrichelt) aber zur quadratischen Grundseite jeweils 45° hat (und die beiden Raumdiagonalen auch aufeinander zu liegen kommen), steht die ursprünglich obere Grundfläche dann mit der Spitze H auf der Ecke B und hat zur liegenden Grundgfläche einen rechten Winkel.
Damit kannst Du dann aber nur viermal Z1 zusammenbauen, weil 4x90°=360° sind. Also ein quadratischer "Doppel-Vulkan".


Ich komme vielleicht doch wieder auf meine Vermutung zurück, dass man in der Aufgabe die im Bild senkrechten Kanten gar nicht in der Mitte teilen soll...

Bin echt gespannt, was hier eigentlich wirklich gemeint ist.
  ─   joergwausw 17.10.2022 um 16:41

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Ich verstehe nicht wirklich was du machen willst. Wenn du Würfel (also ein Körper) zerschneidest und dann anders zusammensetzt, kann kein Fünfeck (also ein Fläche) entstehen. Im Zweifel mal die Aufgabe im Original posten oder ein Bild dazu posten.

Zu der Frage ob ein Würfel mit dem fünffachen Volumen des Ausgangswürfels konstruierbar ist (ich vermute das ist deine zweite Frage), nein das ist nicht möglich. Du kannst das ähnlich wie mit der Verdopplung des Würfels erklären, einem der drei unlösbaren geometrischen Probleme. Angenommen ein Ausgangswürfel hat das Volumen $V=a^3$ mit der Bekannten Kantenlänge $a$. Dann ist das doppelte Volumen $V_{doppelt}=2a^3$. Man müsste also eine Strecke konstruieren, welche die $\sqrt[3]{2}$-fache der Strecke $a$ ist und dies ist nicht möglich.
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Wenn man Würfel zerschneidet und wieder zusammenklebt, bleibt das Volumen unverändert. Wenn es um das Fünffache eines einzelnen der Würfel geht, dann ist das sowieso schon gegeben, da ja 5 dieser Würfel neu zusammengesetzt werden. Verstehe die Frage also gar nicht.   ─   cauchy 14.10.2022 um 18:42

Wenn du den Würfel wie beschrieben zerschneidest und das eine Teil um 180 Grad drehst, erhältst du wieder den selben Würfel. Das macht keinen Sinn. Meinst du vielleicht 90 Grad? Das das Volumen an sich dabei unverändert bleibt hat cauchy bereits gesagt. Mir ist immer noch unklar wo du hier deinen Winkel von 36 Grad haben möchtest und wo dadurch das Fünffache an Volumen entstehen soll. Bitte Aufgabe in Original! Ansonsten ist alles weitere Spekulation.🤷‍♂️   ─   maqu 14.10.2022 um 20:08

Ich habe eine dunkle Ahnung, worum es geht... aber: die Frage ist völlig unzureichend formuliert. Ich spekuliere mal, denn ich rate gerne Aufgaben.

Es geht doch schon damit los, dass die Raumdiagonale eine Strecke ist, die zwei gegenüberliegende Ecken verbindet. Da kann ich also eine Strichnadel durch den Würfel stechen und den Würfel darum rotieren lassen. Wie also soll der Würfel ausgerichtet sein, wenn der Schnitt erfolgt?
Aufgrund der Symmetrie ergeben sich immer zwei gleich große, kongruente Hälften.
Das Problem ist, dass die Schnittfläche ja maximal (das ist der Spezialfall) durch 4 der 8 Ecken verlaufen kann. Dann hast Du zwei Prismen mit einem rechtwinkligen Dreieck als Grundfläche und zwei 45°-Winkeln. Ich sehe da keinen Winkel in der Nähe von 36°

Wenn man die so zusammenklebt, wie ich die Beschreibung verstehe, entsteht ein Prisma mit achteckiger Grundfläche und einem achteckigen Loch in der Mitte, aber nicht fünfeckig.

Interessant wird es, wenn man vom Spezialfall abweicht, also die Schnittfläche so dreht, dass ein Winkel des Dreiecks einer Seite 36° groß ist. Problem dabei ist aber, dass die Hälften dann zwei parallele Seiten haben, von denen die eine dreieckig und die gegenüberliegende unregelmäßig fünfeckig ist.

Und ein regelmäßiges Fünfeck hat sowieso eine Kantenlänge von 108°, nicht 36°.

108° ist allerdings zweimal 54°, was dem dritten Winkel im rechtwinkligen Dreieck entspräche.

Wenn man allerdings die zwei "Hälften" an den 54°-Winkeln zusammenstellt, ich spekuliere mal, dass das gemeint sein könnte, dann käme man an die 108°. Problem: Damit dabei ein Fünfeck und kein "Stern" herauskommt, braucht man ein Teil, das gespiegelt ist. Das geht aber dann nicht mit "Drehung um 180°" wegen der Kongruenz. Da muss man das zweite Teil anders drehen.

Ob das am Ende aber tatsächlich einen Körper ergibt, bei dem alle Flächen aneinanderliegen, kann ich mir gerade nicht anschaulich vorstellen, ich glaube aber schon, dass das gehen könnte. Vielleicht hilft eine 3D-Drucker-Software? Dann Ausprobieren.

Zur Frage mit dem Volumen: Wenn ich 5 Würfel habe und die 10 Teilwürfel zusammensetze, dann bleibt das Volumen natürlich gleich. Ist halt die Frage, ob die Zusammensetzung konvex ist und räumlich möglich...

Zur Frage mit den 35,26°: Der richtige Wert ist hier 35,628°, also falsch gerundet und dann noch einen Zahlendreher produziert. Das ist die gerundete Lösung von $\frac{1}{\sin(\alpha)}=\tan(\alpha)+1$ - das entspricht der Anschauung, dass bei einem rechtwinkligen Dreieck, bei dem eine Kathete der Würfel-Kantenlänge a entspricht, die Summe der beiden Katheten genau die Hypotenuse ergibt.
Ob das aber für die Lösung der Aufgabe hilfreich ist?

Wenn ich genau 10 Dreiecke zu 90°+36°+54° habe, dann lassen die sich jedenfalls am Innenwinkel zu 10 mal 36° zusammenlegen... außen ergeben sich dann auch fünf mal 108°...
Dann ist aber das Problem, dass die Schnittfläche dann nicht mehr durch die Raumdiagonale verläuft, sondern durch eine der Symmetrieachsen durch den Flächenmittelpunkt, die zu einer Kante parallel ist.
(und ich tippe darauf, dass das gemeint ist...)
  ─   joergwausw 15.10.2022 um 02:29

Auf die Gefahr hin das ich mich wiederhole, bitte ein Bild vom zerschnittenen bzw. wieder zusammengesetzten Körper hochladen oder die Originalaufgabe posten!

Zu deinem letzten Kommentar, jetzt sagst du die Raumdiagonale hat den Wert $a$? Ich dachte die Kantenlänge hat den Wert $a$?

Ich bin immer erfreut wenn meine Antwort mit einem grünen Haken versehen wird. Aber ist die Frage jetzt wirklich geklärt?
  ─   maqu 15.10.2022 um 16:00

Da steht "a multipliziert mit zweiter Wurzel aus drei", was ja soweit auch stimmt. ;)   ─   cauchy 15.10.2022 um 16:33

@cauchy der Kommentar wurde abgeändert   ─   maqu 15.10.2022 um 16:47

Mit Urheberrecht sollte man bei Matheaufgaben kein Problem haben.   ─   maqu 15.10.2022 um 17:05

Dann benutze eine externe Seite wie imgur.com zum Hochladen eines Bildes.

Und was das Urheberrecht angeht, ist das bei Aufgaben zur Mathematik immer so eine Sache. Solange kein "kreativer Eigenanteil" vorhanden ist, kann eine Aufgabe kein Urheberrecht haben/dem Urheberrecht unterliegen, da die entsprechende Schöpfungshöhe fehlt. Sowas ist in der Regel nur bei "ausgedachten" Textaufgaben der Fall.

@maqu: Achso, das habe ich nicht bemerkt. Bei mir stand es schon richtig da. :)
  ─   cauchy 15.10.2022 um 17:07

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