Das einfachste ist, links- und rechtsseitigen Grenzwert von f an der Stelle x=0.5 zu berechnen. Die sind nämlich offensichtlich verschieden, müssten für Stetigkeit aber gleich sein.

Hallo chilikroete99,

du kannst dir den linksseitigen und rechtsseitgen Grenzwert von \(f(x)\) anschauen, wenn \(x_0\longrightarrow \frac{1}{2}\) läuft. Gilt \(\underset{x \longrightarrow \frac{1}{2}^+}{\lim} f(x) \neq \underset{x \longrightarrow \frac{1}{2}^-}{\lim} f(x)\), dann ist \(f(x)\) in \(x_0=\dfrac{1}{2}\) nicht stetig, also wenn recht- und linksseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen.

Allerdings steht ja in der Aufgabe explizit, dass du es eigentlich mit dem \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Kriterium widerlegen sollst. Hast du vielleicht das Kriterium schon einmal negiert? Außerdem kannst du dir einfach überlegen wie klein du das \(\epsilon\) wählen musst, damit das Kriterium nicht mehr greift. Setze einfach mal \(x=\dfrac{1}{2}\) in beide abschnittsweise definierten Funktionen ein, dann weist du wie hoch der "Sprung" von \(x^3\) zu \(x^3\) ist. Wählst du \(\varepsilon\) nun kleiner gleich die Sprunghöhe, kannst du es eigentlich ziemlich gut auch mit \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Kriterium beweisen.

Ich hoffe das hilft dir weiter.