Vektorisierung von Summen

Erste Frage Aufrufe: 404     Aktiv: 01.11.2020 um 18:02

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Hallo, ich versuche folgende Umformung nachzuvollziehen und bin auf der Suche nach jemandem, der mir die einzelnen Schritte erklären kann:

\( \hat{\beta_{1}} = \frac{\sum_{n=1}^{N}(x_{n}-\bar{x})(y_{n} - \bar{y})} {\sum_{n=1}^{N}(x_{n}-\bar{x})^{2}} \iff \hat{\beta_{1}} = \frac{ \frac{1}{N}x^{T}y-\bar{x}*\bar{y}} {\frac{1}{N}x^{T}x-\bar{x}^{2}}\)

Meine Annahmen: ich sehe mir Zähler und Nenner separat an:1. \( \sum_{n=1}^{N}(x_{n}-\bar{x})(y_{n} - \bar{y}) \iff \frac{1}{N}x^{T}y-\bar{x}*\bar{y} \) und 2. \(  \sum_{n=1}^{N}(x_{n}-\bar{x})^{2} \iff \frac{1}{N}x^{T}x-\bar{x}^{2} \). Ich wäre für jegliche Hinweise wie ich das Problem anders/richtig angehe dankbar.

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Zähler und Nenner separat betrachte ist schon richtig.
Gehen wir von der Formel aus:Zähler : \(\sum_{n=1}^N(x_n-\bar x)(y_n-\bar y)=  \sum_{n=1}^Nx_n*y_n - \bar x*\sum_ {n=1}^N\bar y_n -\bar y\sum_{n=1}^N x_n +\bar x* \bar y\sum_{n=1}^n1 = \vec x^T*\vec y- \bar x*N*\bar y-\bar y *N*\bar x +\bar  x*\bar y*N = \vec x^T*\vec y-N\bar x*\bar y\)
Nenner: \(\sum (x_n -\bar x)^2 = \sum x_n*x_n -2\bar x\sum x_n+ (\bar x)^2\sum1 = \vec x^T*\vec x -2\bar x*N*\bar x+ (\bar x)^2*N= \bar x^T\bar x -N \bar x^2\)
Jetzt kann man noch Zähler und Nenner jeweils durch N teilen und erhält dann exakt obige \(\beta_1\)- Formel

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Vielen Dank für die Lösung   ─   ryzzlahah 01.11.2020 um 15:30

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