Integral hebbare Lücke

Aufrufe: 460     Aktiv: 23.06.2022 um 03:40
0
Gemäss Definition muss für ein Integral die Funktion f im Intervall [a;b] stetig sein. 
Eine hebbare Lücke ist doch eine punktuelle Unstetigkeit, da es ein "winziges Loch" im Graphen gibt (als Definitionslücke). 
Wenn ich beispielsweise von der Funktion g(x) = (x+2)*(x-3)/(x+2) das Integral im Intervall [-3;4] berechnen möchte, geht das nicht, da hebbare Lücke bei x=-2 und somit im Intervall? Rausstreichen darf ich sie nicht, weil dann eine neue Funktion entstehen würde, oder? Sprich ich müsste im Definitionsbereich D=R /{-2} die hebbare Lücke berücksichtigen?
Bei g(x) würden jedoch im Intervall [3;6] keine Probleme auftreten, da im diesem Intervall keine punktuelle Unstetigkeit ist? Sprich ich kann das Integral dann wie gehabt berechnen. 

Sind meine Überlegungen korrekt? Wir haben jeweils Singularitäten (nur Polstellen und hebbare Lücken) und Integrale separat betrachtet. Kann mir jedoch gut vorstellen, dass so eine an der mündlichen Prüfung kommt...
Diese Frage melden
gefragt

Punkte: 218

 
Kommentar schreiben
1 Antwort
0
Wenn ihr Integrale nur für stetige Funktionen definiert habt,  könnt ihr sowas streng genommen gar nicht integrieren: Integral undefiniert. Es ist aber so bei Riemann-Integrale, dass auch Funktionen mit endlich viele Unstetigkeitsstellen integrierbar sind und die Abänderung R-integrierbarer Funktionen an endlich vielen Stellen ändert nicht den Wert des Integrals
Diese Antwort melden
geantwortet

Student, Punkte: 10.54K

 
Meinst du mit "gar nicht integrieren", dass ich auch nicht ein Intervall nehmen darf, wo es keine hebbare Lücke gibt? Wie in meinem Beispiel [3;6] oder bezieht sich die Aussage auf Intervalle, welche nicht stetig sind, in meinem Bsp. wäre es das Intervall [-3;4]. In Bezug auf meine Beispielsfunktion g(x)= = (x+2)*(x-3)/(x+2)

Noch zur Riemann-Integrale: Kenne mich da zwar nicht aus, aber habe mich bei unserer Defintion auch gewundert, warum man nicht mehr den Flächeninhalt berechnen kann, nur weil jetzt da ein kleines Loch im Graphen ist (bei der hebbaren Lücke)   ─   nas17 22.06.2022 um 12:40
Nach eurer Definition muss die Funktion nur auf dem jeweiligen abgeschlossen Intervall stetig sein   ─   mathejean 22.06.2022 um 12:42
Okay, dann ist klar. Ich dachte zuerst, dass ich zwischen Polstellen und hebbaren Lücken unterscheiden muss, da sich die hebbaren Lücken ja beheben lassen. Aber dann ist klar, sobald es irgendeine Unstetigkeit gibt, ist das Integral in diesem Intervall undefiniert. :)   ─   nas17 22.06.2022 um 17:40
Im Unterricht haben wir Unstetigkeit nicht besprochen, daher haben wir das Integral nicht mit unstetig/stetig definiert.
Ich habe jedoch als Ergänzung den Lambacher-Schweizer, der sich mit dem Unterrichtstoff decken sollte.
Dort steht jeweils "Die Funktion f sei stetig in dem Intervall [a;b]". Ist demnach ein Satz und keine Definition?
"stetig" kommt im LS bei allen Sätzen vor, sprich unter "Definition des Integrals als Grenzwert einer Summe", "Integral als Flächenbilanz" und auch beim "Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung" wird von stetig geschrieben...   ─   nas17 22.06.2022 um 20:09
Komischerweise steht im LS keine Definition von "integrierbar". Sie beginnen beim Kapitel Integralrechnung mit "Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung", indem sie den Zusammenhang mit der Ableitung erklären an Beispielen aus der Physik. Dort steht noch nichts von "stetig". Im nächsten Unterkapitel (Untersumme/Obersumme) kommt direkt die Voraussetzung, dass f im Intervall stetig ist...   ─   nas17 22.06.2022 um 20:27

Kommentar schreiben