Integral hebbare Lücke

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Gemäss Definition muss für ein Integral die Funktion f im Intervall [a;b] stetig sein. 
Eine hebbare Lücke ist doch eine punktuelle Unstetigkeit, da es ein "winziges Loch" im Graphen gibt (als Definitionslücke). 
Wenn ich beispielsweise von der Funktion g(x) = (x+2)*(x-3)/(x+2) das Integral im Intervall [-3;4] berechnen möchte, geht das nicht, da hebbare Lücke bei x=-2 und somit im Intervall? Rausstreichen darf ich sie nicht, weil dann eine neue Funktion entstehen würde, oder? Sprich ich müsste im Definitionsbereich D=R /{-2} die hebbare Lücke berücksichtigen?
Bei g(x) würden jedoch im Intervall [3;6] keine Probleme auftreten, da im diesem Intervall keine punktuelle Unstetigkeit ist? Sprich ich kann das Integral dann wie gehabt berechnen. 

Sind meine Überlegungen korrekt? Wir haben jeweils Singularitäten (nur Polstellen und hebbare Lücken) und Integrale separat betrachtet. Kann mir jedoch gut vorstellen, dass so eine an der mündlichen Prüfung kommt...
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1 Antwort
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Wenn ihr Integrale nur für stetige Funktionen definiert habt,  könnt ihr sowas streng genommen gar nicht integrieren: Integral undefiniert. Es ist aber so bei Riemann-Integrale, dass auch Funktionen mit endlich viele Unstetigkeitsstellen integrierbar sind und die Abänderung R-integrierbarer Funktionen an endlich vielen Stellen ändert nicht den Wert des Integrals
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Student, Punkte: 8.71K

 

Meinst du mit "gar nicht integrieren", dass ich auch nicht ein Intervall nehmen darf, wo es keine hebbare Lücke gibt? Wie in meinem Beispiel [3;6] oder bezieht sich die Aussage auf Intervalle, welche nicht stetig sind, in meinem Bsp. wäre es das Intervall [-3;4]. In Bezug auf meine Beispielsfunktion g(x)= = (x+2)*(x-3)/(x+2)

Noch zur Riemann-Integrale: Kenne mich da zwar nicht aus, aber habe mich bei unserer Defintion auch gewundert, warum man nicht mehr den Flächeninhalt berechnen kann, nur weil jetzt da ein kleines Loch im Graphen ist (bei der hebbaren Lücke)
  ─   nas17 vor 3 Tagen, 6 Stunden

Nach eurer Definition muss die Funktion nur auf dem jeweiligen abgeschlossen Intervall stetig sein   ─   mathejean vor 3 Tagen, 6 Stunden

Okay, dann ist klar. Ich dachte zuerst, dass ich zwischen Polstellen und hebbaren Lücken unterscheiden muss, da sich die hebbaren Lücken ja beheben lassen. Aber dann ist klar, sobald es irgendeine Unstetigkeit gibt, ist das Integral in diesem Intervall undefiniert. :)   ─   nas17 vor 3 Tagen, 1 Stunde

Die obige Antwort hängt total von der Definition ab. Nach Deinen Angaben steht also in der Vorlesung sowas wie "Def.: Eine stetige Funktion heißt integrierbar, wenn....".
Ist das so? Ich kann nicht ausschließen, dass es so ist, aber es wäre extrem ungewöhnlich. Stetige Funktionen mit hebbaren Lücken werden üblicherweise als integrierbar angesehen und "integrierbar" entsprechend definiert (über Unter/Obersumme usw.).
Beachte den Unterschied zwischen Def. und Satz: Wenn da steht "... IST integrierbar...", dann ist es ein Satz und keine Def.. Mach Dir in diesem Zusammenhang den Unterschied zwischen "heißt" und "ist" klar.
  ─   mikn vor 2 Tagen, 23 Stunden

Im Unterricht haben wir Unstetigkeit nicht besprochen, daher haben wir das Integral nicht mit unstetig/stetig definiert.
Ich habe jedoch als Ergänzung den Lambacher-Schweizer, der sich mit dem Unterrichtstoff decken sollte.
Dort steht jeweils "Die Funktion f sei stetig in dem Intervall [a;b]". Ist demnach ein Satz und keine Definition?
"stetig" kommt im LS bei allen Sätzen vor, sprich unter "Definition des Integrals als Grenzwert einer Summe", "Integral als Flächenbilanz" und auch beim "Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung" wird von stetig geschrieben...
  ─   nas17 vor 2 Tagen, 23 Stunden

"sei" ist eine Voraussetzung. Keine (vollständige) Def. und kein (vollst.) Satz.
Schreib doch hier mal die Def. von "integrierbar" hin. In meinem Schulbuch von damals ist es ganz klar auch für unstetig definiert (Unter/Obersumme usw.).
  ─   mikn vor 2 Tagen, 23 Stunden

Komischerweise steht im LS keine Definition von "integrierbar". Sie beginnen beim Kapitel Integralrechnung mit "Lokale Änderungsrate und Gesamtänderung", indem sie den Zusammenhang mit der Ableitung erklären an Beispielen aus der Physik. Dort steht noch nichts von "stetig". Im nächsten Unterkapitel (Untersumme/Obersumme) kommt direkt die Voraussetzung, dass f im Intervall stetig ist...   ─   nas17 vor 2 Tagen, 23 Stunden

Sehr merkwürdig.   ─   mikn vor 2 Tagen, 22 Stunden

Nicht merkwürdig, deutsche Lehrpläne und zu wenig Zeit. ;) Wie zur anderen Frage schon geschrieben, steht in einer alten Version des LS eine Definition von integrierbar drin. Die läuft über die Gleichheit der Grenzwerte von Ober- und Untersumme. In den neueren Ausgaben ist die Herleitung über Ober- und Untersumme nur sehr abgespeckt drin, wenn überhaupt. Anscheinend kann man sowas den Schülern nicht mehr zumuten. Aus eigener Erfahrung weiß ich aber auch, dass das im Unterricht nur seltenst behandelt wird, selbst im LK. Betrifft aber so gut wie alle Formalitäten und Beweise. Es ist ein Wunder, wenn jemand weiß, was $\mathbb{R}$ bedeutet...   ─   cauchy vor 2 Tagen, 15 Stunden

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