Was sind komplexe zahlen? und wofür sind sie notwendig

Aufrufe: 718     Aktiv: 30.12.2020 um 19:57

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Hey, das ist nicht leicht zu beantworten, weil es sich um einen ganzen Zahlenbereich wie die natürlichen Zahlen oder die rationalen Zahlen handelt.

Ich versuche deswegen Mal ein bisschen zu motivieren welche Gedanken vielleicht helfen diesen Bereich zu veranschaulichen oder sich dessen Sinn bewusst zu werden.

Eine komplexe Zahl hat die Form \( z=a+i \cdot b\), wobei \( i^{2} := -1 \) die imaginäre Einheit ist und \( a\), \( b \) reelle Zahlen. Die komplexen Zahlen sind isomorph zum \( \mathbb{R}^{2} \). Das ist kompliziert ausgedrückt für "du kannst die komplexen Zahlen mit der 2-dimensionalen reellen Zahlenebene identifizieren". Daher ist auch deren Darstellung im komplexen Koordinatensystem so gut möglich und so ähnlich zum 2-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem.

Wenn du Polynome hast, dann kannst du dir die Frage nach der Nullstellenanzahl im Reellen stellen. So kann zum Beispiel eine quadratische Gleichung keine, eine oder zwei Nullstellen haben. Das ist nicht so, wenn du komplexe Zahlen betrachtest. Hier hat jedes Polynom genau so viele Nullstellen wie sein Grad. Also ein quadratisches Polynom genau immer zwei, ein kubischen genau drei, etc. Dies scheint in unserer immer sehr ordentlichen geregelten Mathematik doch etwas schöner als irgendwas zwischen 0 und Grad ;)

Aber die komplexen Zahlen sind auch einfach wahnsinnig praktisch! Nämlich lassen sich Schwingungen und periodische Bewegungen fantastisch durch komplexe Gleichungen modellieren. Physikalische Anwendungen finden sich zum Beispiel in der Elektrotechnik oder in der Quantenmechanik, aber eben eigentlich fast überall wo es um Wellen oder Schwingungen geht.

Mein persönlicher Favorit sind ja nach wie vor die sogenannten Fourierreihen und Fouriertransformationen. Die Grundaussage davon, dass du jede ausreichend schöne Funktion beliebig gut durch ein trigonometrisches Polynom (lange Summe von Sinus/Cosinusfunktionen) approximieren kannst. Da gibt es auch richtig schöne Animationen zu, kann man sich Mal anschauen!

Ich kann dir sehr ans Herz legen dich auf YouTube Mal ein bisschen umzuschauen, denn die komplexen Zahlen sind mit vielen tollen Überraschungen verbunden und es lohnt sich sich das in Ruhe anzueignen.

 

Deine Frage ist leider aufgrund des Umfangs nicht zu beantworten, aber ich bin sicher wenn du weitere konkrete Fragen hast, hilft dir hier gern jemand diesen neuen Zahlenbereich zu erforschen, der übrigens noch nicht der größte ist ;) 

 

Viele Grüße

Jojoliese

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Vielen vielen Dank!
  ─   anonymeafd0 30.12.2020 um 11:59

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