Stetigkeit

Aufrufe: 322     Aktiv: 02.02.2021 um 12:13
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Ich soll beurteilen, ob folgende Aussagen wahr sind und dies begründen.
Bei der zweiten Aussage stört mich irgendwie das a. Was hat mir das zu sagen?


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Versuche doch mal zu zeigen, dass \(f\) stetig ist. Findest du zu gegebenem \(\varepsilon>0\) ein \(\delta>0\), sodass \(|x-y|<\delta\Longrightarrow|f(x)-f(y)|<\varepsilon\)?
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Wir wollen ein \(\delta>0\) finden, sodass \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\) für alle \(|x-y|<\delta\) gilt. Setzen wir ein, was wir wissen: \(|f(x)-f(y)|< a|x-y|=a\delta\). Also muss für \(\delta\) gelten, dass \(a\delta\leq\varepsilon\), dann können wir \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon\) folgern. Gibt es zu jedem \(\varepsilon\) so ein \(\delta\), dass \(a\delta\leq\varepsilon\) gilt?   ─   stal 02.02.2021 um 11:56
Durch \(a\) teilen ist gut, dann kommt man aber auf \(\delta\leq\frac\varepsilon a\). Wählen wir also z.B. \(\delta=\frac\varepsilon a\), dann geht alles auf: Für alle \(x\in\mathbb R\), für alle \(y\in\mathbb R\) mit \(|x-y|<\delta\) folgt \(|f(x)-f(y)|< a|x-y|=a\delta\leq\varepsilon\), also ist \(f\) stetig.   ─   stal 02.02.2021 um 12:13

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