Darstellungsformen von Ebenen umwandeln

Aufrufe: 135     Aktiv: 04.04.2022 um 22:53

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d:-3x + 2y -z =5 
Aufgabe: Stelle die Ebene d in Parameterdarstellung dar.


Wie wandelt man das um? 
Ich weiß, dass wenn es nur x und y gibt, dass ich das dann einfach wie ein LGS also kx + d lösen kann. 
Also das wäre ja dann für eine Gerade aber wie funktioniert das ganze bei einer Ebene? 

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Sicherlich wolltest Du y=kx+d schreiben, denn sonst ist es ja keine Gleichung und ein LGS schon gar nicht. In Deinem Fall der Ebene gilt z.B. z=3x+2y-5=f(x,y), und das ist eine Funktion mit 2 Veränderlichen. Zur Lösung Deiner Aufgabe siehe meine Antwort unten.   ─   professorrs 04.04.2022 um 12:32

Danke für die Antworten.
Ich weiß irgendwie immer noch nicht so ganz wenn ich jetzt für x t1 und für y t2 und für z = 3x+2y-5 einsetze wie ich dann auf die Parameterdarstellung komme. Ich habe schon einmal versucht dass ich alles null setze außer zum Beispiel 3x. Also -3x =5 x=-3:5. Das habe ich für alle drei Koordinaten angewandt. Mein Ergebnis war dann e:X= (-5:3, 0,0) +t(0,2.5,-5) +s(5:3,2.5,0)
Ich habe die Methode in einem Video gesehen aber meine Lösung ist falsch.
  ─   userefdbd3 04.04.2022 um 17:25
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Es ist auch ein LGS und hier hat der Lösungsraum dann die Dimension zwei und ist halt eine Ebene.
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Eine Ebene wird durch eine zweiparametrige Darstellung beschrieben, und es gibt unendlich viele Möglichkeiten dass zu tun. Für Deine Ebene kann man z.B. x=t_1 und y=t_2 setzen. Eingesetzt in die allgemeine Ebenengleichung liefert \(z=3 t_1 +2 t_2 -5\), was die Parameterdarstellung \(x=t_1, y=t_2, z=3t_1+2t_2-5\) liefert. Natürlich könnte man auch die Parameter t_1 und t_2 anders wählen. Richtig gemacht liefert jede Parameterdarstellung stets alle Punkte der Ebene. Siehe z.B. auch mein Video zum Thema Analytische Geometrie II und III.
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Einfaches Vorgehen, berechne 3 Ebenenpunkte  und bastle daraus die Parameterform
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Wie berechne ich einen Punkt auf der Ebene?   ─   userefdbd3 04.04.2022 um 17:28

Mußt Du ja eigentlich nicht, wenn Du meiner Antwort folgst. Aber wenn Du es wissen willst: Setze zwei Unbekannte willkürlich fest und berechne den dritten.   ─   professorrs 04.04.2022 um 18:32

setze 2 beliebige Werte (Koordinaten) ein und berechne die dritte

wenn du ein LGS mit dem Gauß-Verfahren (sicher) lösen kannst, kannst du auch die Methode (in den oberen Antworten) anwenden: einfach als LGS mit einer belegten und zwei Nullzeilen auffassen und nach Schema rechnen, verwirrt halt nur, wenn man solche "Fälle" nicht kennt, daher mein "Ausweg"
  ─   honda 04.04.2022 um 18:33

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Weitere Alternative: Du kannst anhand der Koordinatenform den Normalenvektor bestimmen. Finde zwei Vektoren, die orthogonal zum Normalenvektor (Stichwort Skalarprodukt) sind und linear unabhängig (das geht sehr einfach, wenn je eine der Koordinaten der Spannvektoren gleich 0 gesetzt wird). Als Aufpunkt nimmst du dann einen beliebigen Punkt, der die Gleichung erfüllt. Siehe dazu die Antwort von honda.
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