Guten Abend

Ich hänge gerade bei folgender Beweisaufgabe (das untere Bild ist ein Tippe welchen wir bekommen haben):

Laut Aufgabenstellung gilt folgendes zu zeigen:

\(\forall k \in \mathbb{N} :\)

\(\int_0^{\pi} e^{k*cos(t)} cos(k \cdot sin(t))dt = \pi \)

Cauchyscher Integralsatz : 

\(f^n (z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \int_\gamma \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\) \(\iff\) \(\frac{2\pi i}{n!}f^n (z_0) = \int_\gamma \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz\)

Gemäss Tipp habe ich zuerst folgendes berechnet (sofern korrekt):

\(\int_{\delta K(0)} \frac{e^{kz}}{z}dz = \int_{\delta K(0)} \frac{f(z)}{z-0}dz = 2 \pi i \cdot f^0 (0) = 2 \pi i\)

Berechnen der Parametrisierung:

\(\gamma(t) = e ^{it}\) , \(t \in [0,2 \pi]\) für \(\delta_{K1(0)}\)

\(\int_{\gamma}f(z)dz = \int_0^{2\pi} f(\gamma(t))\gamma'(t)dt = \int_0^{2\pi}(e^{it})(ie^{it})]_0^{2 \pi}\) = \(ie^{2it}]_0^{2 \pi}\) = \(2 \pi\)

Der Realteil ist also = \(2 \pi \) und der Imaginärteil = 0.

Aber ich sehe jetzt nicht genau wie ich weiter machen soll.

Auch mit der Formel für den Cauchyschen Integralsatz komme ich nicht wirklich weiter.

Kann mir jemand einen Tipp geben.

Vielen Dank 

LG