Beweis: Wenn ggT(a, b) = 1, dann ist auch der ggT(a^2, b^2) = 1

Aufrufe: 520     Aktiv: 19.01.2021 um 18:04
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Hallo Ihr Lieben,

ich soll Folgendes beweisen:

Wenn der ggT(a, b) = 1 ist, dann ist auch der ggT(\( a^{2} \),\( b^{2} \)) = 1 (a und b stammen aus der Menge der ganzen Zahlen)

In der Aufgabenstellung steht, dass ich das Lemma von Bezout beachten soll. Das Lemma von Bezout kann ich, allerdings weiß ich nicht wie man hier vorgeht.

Setzt man Zahlen für a und b ein? Wenn ja, ist es egal welche Zahlen man einsetzt? Muss man überhaupt Zahlen einsetzen oder irgendwie umformen?

Vielen Dank für eure Hilfe. :)

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Falls dir das mit dem „Lemma“
etwas zu kompliziert für den Anfang, vielleicht mal so ein Gedanke zum Beginn:

Es sei ggT(a;b)>1. Dann kannst du darausfolgern, dass in der PFZ(a) und PFZ(b) mindestens ein Primfaktor gleich ist. (PFZ= Primfaktorzerlegung)
Umgekehrt gilt auch, dass, wenn PFZ(a) und PFZ(b) in mindestens einem Primfaktor übereinstimmen, du ggT(a;b)>1 folgern kannst.
Jetzt die Überlegung:
Wie kannst du besonders aus dem zweiten Teil folgern

ggT(a;b)= 1 => ggT(a^2 ; b^2) = 1

Viele Grüße!
Bei Fragen gerne melden!   ─   derpi-te 19.01.2021 um 17:10
Wenn ich das richtig verstanden habe, kann ich sagen, dass beim ggT(a^2,b^2) = 1 mindestens ein Primfaktor gleich ist.

Das Lemma von Bezout besagt: s * a + t * b = 1
Das heißt doch, dass entweder mein s oder mein t = 1 sein muss, oder?

1 * (a^2) + t * (b^2) = 1 oder s * (a^2) + 1 * (b^2) = 1

Jetzt weiß ich leider immer noch nicht weiter. Das fehlende s oder t könnte vllt 0 sein, aber begründen kann ich das nicht.   ─   mathqueen 19.01.2021 um 17:46
Ne, so war das mit der Primfaktorzerlegung eigentlich nicht gemeint... vergiss da lieber wieder, da ich damit sonst evtl. nur verwirre, falls das so ist, dass du es mit dem Lemma beweisen musst? Ist dem so?   ─   derpi-te 19.01.2021 um 18:04
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