Hallo,

man zeigt, dass \(M\) := "etwas" eine Untergruppe von einer Gruppe \((G,\circ)\) ist, indem man folgendes zeigt:

1. \(M\) ist eine Menge.

2. \(M\) ist eine Teilmenge von \(G\).

3. Die Verknüfpung \(\circ\) zweier Elemente in \(M\) landet in \(M\).

4. Für alle Elemente in \(M\) liegt auch das Inverse bezüglich \(\circ\) in \(M\). 

Du kannst auch andere äquivalente Dinge zeigen, aber diese Formulierung finde ich am naheliegendsten. :)

Deine zweite Frage verstehe ich nicht. Warum sollte eine Untergruppe eine beliebige Untergruppe sein?

\((2\mathbb{Z},+)\) ist eine Untergruppe von \((\mathbb{Z},+)\) aber ja nicht eine beliebige, denn es gibt noch \(3\mathbb{Z}\), \(4\mathbb{Z}\), ... und es gilt offensichtlich:

$$2\mathbb{Z}\neq3\mathbb{Z}$$