Betragsstriche / eine Seite der Gleichung negativ

Aufrufe: 111     Aktiv: 23.04.2022 um 15:25
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Warum wird für die zweite Ebene (Winkelhalbierende) im Lösungsvorgang eine Seite der Gleichung negativ gemacht? Bzw. was ist der Hintergrund davon? Wann macht das Sinn, wann nicht?
Ich möchte das Hintergrundwissen nachvollziehen können. Gerne auch auf diese Aufgabe bezogen. :)

Aufgabe und meine Berechnung (meine Frage bezieht sich auf den orange markierten Teil)



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Wenn die Vektoren $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ die normierten Normalenvektoren (Länge 1) der beiden Ebenen sind, dann sind (kann man sich anschaulich schnell überlegen) die Vektoren $\vec{n_1}+\vec{n_2}$ und $\vec{n_1}-\vec{n_2}$ Normalenvektoren der winkelhalbierenden Ebenen. Wenn man nun also die HNF verwendet, hat man einerseits $\vec{n_1}\circ(\vec{x}-\vec{a_1})=0$ bzw. $\vec{n_2}\circ(\vec{x}-\vec{a_2})=0$. Durch Bildung der Summe bzw. Differenz dieser beiden Gleichungen erhält man dann die zwei gesuchten Ebenen mit den entsprechenden Normalenvektoren.
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Selbstständig, Punkte: 22.18K

 
Vielen Dank! Habe dank deiner Erklärung den Hintergrund verstanden. Indem ich die Normalenvektoren addiere bzw. subtrahiere ist es auch gut ersichtlich. :)

Ist deine Gleichung eine andere (siehe unten) Variante der HNF?
Ich vermute, dass a1 bzw. a2 Stützvektoren der Ebene sind? Vektor x steht wofür?

(Kenne nur [x-a] * n0 = 0 (wobei a ein Stützvektor auf der Ebene ist und n0 der normierte Vektor auf der Ebene. Falls x auf der Ebene liegt, gibt es 0. Ansonsten den Abstand in Betrag.)
   ─   nas17 23.04.2022 um 11:00
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Du hast Recht. Ich hab die Vektoren in den Gleichungen vertauscht. Das Resultat ist aber dasselbe. Ich passe das noch an. :) Freut mich, dass du den Hintergrund verstanden hast!   ─   cauchy 23.04.2022 um 15:24

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