Wenn die Vektoren $\vec{n_1}$ und $\vec{n_2}$ die normierten Normalenvektoren (Länge 1) der beiden Ebenen sind, dann sind (kann man sich anschaulich schnell überlegen) die Vektoren $\vec{n_1}+\vec{n_2}$ und $\vec{n_1}-\vec{n_2}$ Normalenvektoren der winkelhalbierenden Ebenen. Wenn man nun also die HNF verwendet, hat man einerseits $\vec{n_1}\circ(\vec{x}-\vec{a_1})=0$ bzw. $\vec{n_2}\circ(\vec{x}-\vec{a_2})=0$. Durch Bildung der Summe bzw. Differenz dieser beiden Gleichungen erhält man dann die zwei gesuchten Ebenen mit den entsprechenden Normalenvektoren.