Wie wende ich den Transformationssatz an?

Aufrufe: 75     Aktiv: 28.06.2021 um 17:20

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Hallo Zusammen
 
Wir haben hier folgende Aufgabe
 
Berechnen Sie das Integral \(\int_A \frac{log(r\cdot cos(\theta)+ r\cdot sin(\theta))}{cos(\theta)} d(r,\theta)\) mit \(A=\{(r,\theta)\in \mathbb{R}^2 | 0\leq \theta \leq \frac{\pi}{4}, \,\,1\leq r\cdot cos(\theta) \leq 2\}\)
 
Mir ist bewusst, dass man den Transformationssatz anwenden sollte, aber bei uns sind sie ziemlich genau was die Notation angeht also mit diesem \(C^1\)-Diffeomorphismus und dem Ganzen. Irgendwie habe ich da manchmal noch ein wenig ein Durcheinander bezüglich der Notation da ich machmal vergesse wo nun dieser Diffeomorphismus gerade hingeht ect. Nun habe ich aber das Gefühl einen Weg gefunden zu haben, der mir passt, bin mir aber nicht ganz sicher ob das so formal korrekt ist. Daher wollte ich fragen ob sich das jemand anschauen könnte, denn wenn das so stimmt dann bin ich auf dem richtigen Weg.

Ps: Ich habe die Berechnung des Integrals hier nicht hinzugefügt, da ich dies selber überprüfen kann ob das stimmt. Mir ist es wichtiger dass ich hier einen formal machbaren Weg habe und nicht kompletten Unsinn da hingeschriben habe.
 
Vielen Dank für eure Hilfe.
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2 Antworten
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Hallo.

dein $A$ ist richtig. Das sieht man ja sofort durch einsetzen von $ x = r \cos \theta $. Sieht für mich alles richtig aus. Auch mit deinem $\Phi $ und der Berechnung der Inversen Funktionaldeterminanten. 

Ich wäre mir mit dem Argument "$\varphi(x)=0$ und $\varphi(x) = x$ stetig $\Leftrightarrow $ $\Omega $ quadrierbar" unsicher, aber einfach weil ich es so gerade nicht auf dem Schirm habe. Denke das macht aber schon Sinn. Das Gebiet ist auf jeden Fall quadrierbar, da es abgeschlossen und beschränkt ist. 

Sieht also alles sehr gut aus :)

Grüße Christian
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Hallo Christian
Super vielen Dank. Ja also da habe ich ein wenig geschlampt aber wir haben eben mal gezeigt dass eine Menge der Form \(C=\{(x,y)|x\in C_0,\,\,\, \phi_1(x)\leq y \leq \phi_2(x)\}\) quadrierbar ist falls \(C_0\subset \mathbb{R}^{d-1}\) kompakt und quadrierbar ist und \(\phi_1 \leq \phi_2\) stetig sind. Das hätte ich da vielleicht ausführlicher machen sollen. Aber vielen Dank!
  ─   karate 28.06.2021 um 16:13

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Ah ok gut zu wissen.. So konnte ich auch noch was Lernen :D
Ja wenn ihr das in der Vorlesung so behandelt habt, dann passt die Ausführung ja :)
Sehr gerne! :)
  ─   christian_strack 28.06.2021 um 17:20

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\(A=\lbrace (x|y):0\leq x\leq 2;0\leq x\leq y \rbrace\)
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Sorry ich verstehe nicht ganz was du damit sagen möchtest? Ist A falsch? Denn das denke ich nicht, da ich das dazumals mit diesem A abgegeben habe und ein Hacken darunter gesetzt wurde.
aber so wie ich das deute stimmt der Rest der Aufgabe, also mit dem \(\Phi\) und der inversen der Jacobimatrix?
  ─   karate 28.06.2021 um 12:04

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