"Ich weiß zwar..." Gut, das ist doch schon der entscheidende Punkt. Der Rang ist die Dimension des Spaltenraums. rg(AB) ist die Dim des Bildes der Abbildung \(A\circ B\), also \(rg(A)=\dim A(D_A)\) (A hier als Abbildung zu lesen, \(D_A\) ist Defbereich von A, also \(D_A=R^{irgendwas}\)). Also \(rg (AB)= \dim A(B(D_B))\).
Was kann man daraus über \(\dim A(B(D_B))\) schließen? Beachte: \(B(D_B)\subseteq D_A\).
Dann noch: Beachte, dass für eine lin. Abb. die Dim. des Bildes kleiner oder gleich der Dim. des Defbereichs ist.
Insg. folgt: \(rg AB \le rg A\) und \(rg AB \le rg B\), also auch \(rg AB \le \min \{rg A,rg B\}\).
Mit dem Zeilenrang braucht man sich gar nicht zu beschäftigen.