Lokale Isometrie

Aufrufe: 64     Aktiv: 16.06.2022 um 00:57

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Guten Abend,

ich würde gerne folgende Aufgabe lösen, habe jedoch noch einige Probleme: 
 
Sei $Z_r = \{(x,y,z)^T|x^2+y^2=r^2 \}$ ein Zylinder mit Radius $r$ und $f$ die Abbilung
$$ f: Z_{1}  \rightarrow Z_{\frac{1}{2}} \\ f(x,y,z)=\ ( \frac{1}{2}(x^2-y^2),\ xy, \ z)^T
$$
Ich soll zeigen, dass f eine lokale Isometrie ist. Die Defintion unseres Skriptes lautet:

In einem Beispiel aus unserer Vorlesung, gab es ganz ähnliche Aufgabe zu einem Zylinder, dort war $f:R^2->Z $  mit $f (\phi,z)=(cos \phi, sin \phi, z)^T$ 
Hier konnte man dann recht einfach zeigen dass:
$$<Df(e_i),Df(e_j)>=<e_i,e_j>= \delta_{ij} \  \ \text{für i,j=1,2}$$

Schein plausible, weil die erste Fundamentalform, ja gerade die EInschränkung des Skalarpdouktes auf die Tangentialebene ist. 

Meine Schwierigkeiten: 1) Ich habe in meiner Aufgabe 3 Variabeln. Kann ich z eventuell durch x und y darstellen?
2) Kann ich mit den Einheitsvektoren genauso wie im Beispiel, alle Punkte der Tangentialebene darstellen?

Vielen Dank für eure Hilfe!

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